Demostrando algo que se asemeja a Fermat ' s pequeño Teorema

Question

Este fue uno de los de nivel avanzado preguntas en nuestra práctica de problemas de teoría de números:

Deje $a$ ser un número entero mayor que $1$ y deje $p$ ser un extraño prime que no es un divisor de a $a(a^2 − 1)$. Deje $$n = \frac{a^{2p} − 1}{a^2 − 1}$$ Demostrar que $a^{n−1} ≡ 1 \text{(mod n)}$, mostrando que el$2p|(n − 1)$$a^{2p} ≡ 1 \text{(mod n)}$.

Edit: Gracias a una respuesta por Peter ahora veo que $n(a^2-1)=a^{2p}-1 \implies a^{2p}≡ 1\text{(mod n)}$

Así que traté de escribir n-1 como: $$n-1=\frac{a^{2p} − 1}{a^2 − 1}-1 = \frac{a^{2p} − a^2}{a^2 − 1}$$

pero entonces yo no podía ver cómo el factor de una $2p$. Me di cuenta de que $2p$ podría tener algo que ver con la periodicidad de los residuos de $\text{mod n}$ mientras $gcd(a,n)=1$. Es $2p$ la primitiva raíz de n, es decir, $2p =ord_n(a)$ de alguna manera? ¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

$$a^{2p}\equiv 1\ (\ mod\ n)$$ follows from $$n(a^2-1)=a^{2p}-1$$

También tenemos $a^{2p}\equiv a^2\ (\ mod\ p)$ debido al pequeño Teorema de Fermat. y $$n-1=a^2+a^4+a^6+...+a^{2p-2}=\frac{a^{2p}-a^2}{a^2-1}$ $

El numerador es divisible por $p$, pero no el denominador (porque no dividir a la $p$ $a^2-1$). Así, $p|n-1$.

Puesto que contiene sumandos marcas de verificación $n-1$ $p-1$, que son todos pares o impares, $n-1$ debe ser aún, así que tenemos $2|n-1$, completar la prueba.

Esta prueba muestra que existen muchos infinitos Fermat-pseudoprimes para cada base $a$.