Demostrar que si $g^2=e$ para todos g en G entonces G es abeliano.

Question

Esta pregunta es de la teoría de grupos en Álgebra Abstracta y no importa cuántas veces mi profesor enseña que por alguna razón me parece que no puede descifrarlo.

(por favor, tenga en cuenta que $e$ en la pregunta es la identidad del grupo)

Aquí está mi intento, aunque...

Primero entiendo Abelian a decir que si $g_1$ $g_2$ son los elementos de un grupo G, entonces son Abelian si $g_1g_2=g_2g_1$...

Así que, para empezar, tratando de jugar con los elementos del grupo basado en su definición...

$$(g_2g_1)^r=e$$ $$(g_2g_1g_2g_2^{-1})^r=e$$ $$(g_2g_1g_2g_2^{-1}g_2g_1g_2g_2^{-1}...g_2g_1g_2g_2^{-1})=e$$

Supongo que el $g_2^{-1}$'s y el $g_2$'s de cancelar de manera que nos encontramos con algo como,

$$g_2(g_1g_2)^rg_2^{-1}=e$$ $$g_2^{-1}g_2(g_1g_2)^r=g_2^{-1}g_2$$

A continuación, en última instancia...

$$(g_1g_2)=e$$

Me imagino que esta es la respuesta. Pero no estoy totalmente seguro. Siempre siento que puedo hacer demasiado en la búsqueda de una respuesta cuando no hay una manera más sencilla.

Referencia: Fraleigh p. 49 Pregunta 4.38 en Un Primer Curso de Álgebra Abstracta

Answer 1

Sugerencia: Tomar $(ab)^2=1$ y multiplicar ambos lados de la derecha con $b$, entonces otra vez a la derecha con $a$.

Answer 2

Para cualquier $g, h \in G$, considera el elemento $g\cdot h\cdot h\cdot g.~$ desde $g^2 = g\cdot g= e$ % todo $g \in G$, nos encontramos con que % $ $$g\cdot h\cdot h\cdot g = g\cdot(h\cdot h)\cdot g = g\cdot e\cdot g = g\cdot g = e.$$g\cdot h$pero tiene un único elemento inverso $g\cdot h$, mientras que sólo hemos demostrado que $(g\cdot h)\cdot (h\cdot g) = e$, y por lo que debe ser que $g\cdot h = h\cdot g$ % todo $g, h \in G$, $G$ es un Grupo abeliano.

Answer 3

Siempre que tenga una condición $g^2=e$ en un grupo, es equivalente a $g=g^{-1}$ (multiplique ambos lados por $g^{-1}$).

En este caso, se aplica a cada elemento del grupo, para que pueda añadir o quitar inversas de cualquier expresión libremente. Así que la prueba es simplemente $$ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba.$ $

Answer 4

Sugerencia: tenga en cuenta que $g_1g_2=g_2g_1$ si y sólo si $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=e$ (¿por qué?) y que $g^{-1}=g$ % todo $g\in G$(¿por qué?).

Answer 5

Estudiante de matemáticas Hola muestro para ti como una sugerencia para probar la pregunta anterior y mostrar otra vez claramente a entender.

Prueba: deje que todas las $a,b$ en grupo $G$. afirman para mostrar un comutativo $ab=ba$. Mediante el uso de un hecho que $a\cdot a=b\cdot b=(ab)\cdot(ab)=e$. desde $(ab)^2=a^2\cdot b^2=e\cdot e=e$. Tenemos $ab\cdot ab=e$. Multiplicando a la derecha por $ba$, obtenemos\begin{align} ab\cdot ab\cdot ba &= e\cdot ba\\ ab\cdot a(b\cdot b)\cdot a &= ba\\ ab\cdot a\cdot b^2\cdot a &=\\ ab\cdot a\cdot e\cdot a &=\\ ab\cdot a\cdot a &=\\ ab\cdot e &=\\ ab &= ba, \end{align} para todos $a,b$ $G$. desde $G$ es Grupo abeliano. Esto es probado pasado.