Una propiedad de enteros.

Question

Sea$a_0$ un entero positivo, definiendo:

PS

luego,$$a_{n+1} = $$\begin{cases}\frac{a_n}{2} &, a_n \text{ even}\\ 3a_n + 3 &, a_n \text{ odd}. \end{cases}$$ $donde$a_k=3$ es un entero + ve,

Por ejemplo, la secuencia $${97,294,147,444,222,111,336,168,84,42,21,66,33,102,51,76,38,39,120,60,30,15,48,24, 12,6,3}$$

Answer 1

Después de un número finito de pasos, cualquiera que sea el valor de partida, ha $3\mid a_n$ todos los $n \geqslant n_0$. Es decir, si $a_0 = 2^{k}\cdot m$ $m$ impar, entonces $a_k = m$$a_{k+1} = 3(m+1)$, y si $a_n \equiv 0 \pmod{3}$, $a_{n+1}\equiv 0 \pmod{3}$ demasiado, por lo $a_n \equiv 0 \pmod{3}$ todos los $n > k$. A continuación, mira la secuencia de $b_n = \frac{a_n}{3}$. Tenemos $b_n \equiv a_n \pmod{2}$ a continuación, y por lo tanto, para$b_n$, incluso, nos encontramos con $b_{n+1} = \frac{1}{3}a_{n+1} = \frac{1}{3}\frac{a_n}{2} = \frac{b_n}{2}$, mientras que para $b_n$ impar, nos encontramos con $b_{n+1} = \frac{1}{3}a_{n+1} = \frac{1}{3}(3a_n+3) = a_n+1 = 3b_n+1$, es decir,

$$b_{n+1} = \begin{cases}\frac{1}{2}b_n &, b_n \text{ even}\\ 3b_n + 1 &, b_n \text{ odd}. \end{cases}$$

Así que la pregunta es equivalente a la conjetura de Collatz. Nadie lo ha probado o refutado, pero, en principio, ninguna razón de no se sabe por qué no debería ser posible.