Verificación de la solución: Deje que$p:X\rightarrow Y$ sea un mapa de superyectivo continuo cerrado. Demuestre que si$X$ es normal, entonces también lo es$Y$.

Question

A continuación es una pregunta concerniente a la Normal de los Espacios de la Topología, James Munkres. Siguiente que es mi intento por llegar a una solución, de la que no estoy seguro de que es correcta y agradecería si alguien podría señalar que (si algo) es malo.

$\textbf{Question:}$ Deje $p:X\rightarrow Y$ ser un continuo cerrado surjective mapa. Mostrar que si $X$ es normal, entonces es $Y$.

$\textbf{Attempted solution:}$ Deje $A$ $B$ ser cualquiera de los dos conjuntos cerrados de $Y$. Desde $p$ es continua, $C=p^{-1}(A)$ $D=p^{-1}(B)$ están cerrados en $X$. Desde $X$ es normal, existen abrir conjuntos de $U_1$ $U_2$ tal que $C\subset U_1$$D\subset U_2$$U_1\cap U_2=\{\phi\}$. Deje $C_1=X-U_1$$C_2=X-U_2$. A continuación, $C_1$ $C_2$ están cerrados y desde $p$ es un cerrado mapa, por lo que se $p(C_1)$$p(C_2)$. También se $A\cap p(C_1)=\{\phi\}$ $B\cap p(C_2)=\{\phi\}$ porque si no era así, a continuación, $C_{1}\cap C$ $C_{2}\cap B$ no puede ser vacío. Por último, vamos a $V_1=Y-p(C_1)$$V_2=Y-p(C_2)$. A continuación, $A\subset V_1$ $B\subset V_2$ $V_1$ $V_2$ son distintos debido a $V_1$ $p(C_1)$ son disjuntas y $V_2\subset p(U_2)\subset p(C_1)$.

Answer 1

El argumento parece correcto, aparte de un par de resbalones:

1. usted debe comenzar con $A\cap B=\emptyset$;
2. usted parece ser confuso $\emptyset$$\{\emptyset\}$.

Me gustaría hacer algunos pasajes más claros, en particular, para mostrar donde surjectivity se utiliza.

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Deje $A$ $B$ ser distintos subconjuntos cerrados de $Y$. A continuación, $p^{-1}(A)$ $p^{-1}(B)$ están cerrados (por la continuidad de $p$) y discontinuo (por propiedad general de los mapas) de subconjuntos de a $X$.

Desde $X$ es normal, hay conjuntos de $U$ $V$ tal que

1. $p^{-1}(A)\subseteq U$
2. $p^{-1}(B)\subseteq V$
3. $U\cap V=\emptyset$

Desde $p$ es cerrado, $p(X\setminus U)$ $p(X\setminus V)$ están cerrados en $Y$. Deje $U_1=Y\setminus p(X\setminus V)$$V_1=Y\setminus p(X\setminus U)$, que están abiertas en $Y$.

Entonces $$U_1\cap V_1=Y\setminus(p(X\setminus V)\cup p(X\setminus U))$$ Vamos a ver que $p(X\setminus V)\cup p(X\setminus U)=Y$. Si $y\in Y$, $y=f(x)$ algunos $x\in X$. Desde $U\cap V=\emptyset$, tendremos a $x\in X\setminus U$ o $x\in X\setminus V$; por lo que la tesis de la siguiente manera.

Por lo tanto,$U_1\cap V_1=\emptyset$.

Deje $y\in A$. A continuación, $y=f(x)$ algunos $x\in p^{-1}(A)$. Por lo tanto $x\notin V$, lo $x\in X\setminus V$. Por lo tanto,$y=f(x)\in U_1$$A\subseteq U_1$. Del mismo modo, $B\subseteq V_1$.