Estoy tratando de entender una prueba a un lexema por Kochen y Piedra que aparece aquí, utilizando el Paley-Zygmund la desigualdad.
Voy a repetir la prueba de manera detallada, y explicar lo que me molesta sobre ella.
Lema (Kochen-Piedra). $\ $ Deje $A_n$ ser una secuencia de eventos con $\sum\mathbb{P}(A_n)=\infty$ y \begin{equation*} \liminf_{k\to\infty}\frac{\sum_{1\le m,n \le k}\mathbb{P}(A_m\cap A_n)}{\left(\sum_{n=1}^k\mathbb{P}(A_n)\right)^2}<\infty \end{ecuación*} entonces, hay una probabilidad positiva de que $A_n$ ocurre infinitamente a menudo.
Prueba (parcial). $\ $ Revisión de $\ell<k$. Deje $X=\sum_{n=\ell}^{k}1_{A_n}$; de ello se sigue que \begin{equation*} \mathbb{E}(X)=\sum_{n=\ell}^{k}\mathbb(A_n) \end{ecuación*} y \begin{equation*} \mathbb{E}(X^2)=\sum_{\ell\le m,n \le k}\mathbb{P}(A_n\cap A_m). \end{ecuación*}
El uso de Paley-Zygmund de la desigualdad de la $\theta=0$ (no se menciona en la página de la wikipedia, pero la desigualdad se cumple para $\theta=0$), obtenemos \begin{eqnarray*} \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=\ell}^{k}A_n\right) &=& \mathbb{P}(X>0)\\ &\ge& \frac{\left(\sum_{n=\ell}^{k}\mathbb{P}(A_n)\right)^2} {\sum_{\ell\le m,n \le k}\mathbb{P}(A_n\cap A_m)}\\ &\ge& \frac{\left(\sum_{n=1}^{k}\mathbb{P}(A_n) -\sum_{n=1}^{\ell-1}\mathbb{P}(A_n)\right)^2} {\sum_{1\le m,n \le k}\mathbb(A_n\cap A_m) -\sum_{1\le m,n < \ell}\mathbb(A_n\cap A_m)} \end{eqnarray*}
Ahora, sostiene que $\mathbb{P}(A_n\text{ occurs i.o.}) = \lim_{\ell\to\infty}\lim_{k\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=\ell}^{k}A_n\right)$; sin embargo, no veo cómo puedo obligado que la probabilidad de distancia de 0. Me estoy perdiendo algún detalle menor aquí?
