Resolviendo la EDP $\frac{\partial T}{\partial t} = K\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}$

Question

Estoy tratando de encontrar soluciones a la siguiente EDP:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = K\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}},$$ con condición de frontera: $T(0,t)=T_{0}\cos(\omega t)$, donde $\omega = \frac{2K}{a^{2}}$.

Estoy tratando de resolver esto mediante la separación de variables en $T(x,t) = X(x)F(t)$, entonces tenemos:

$$X(x)\frac{\partial F}{\partial t}=KF(t)\frac{\partial^{2} X}{\partial x^{2}}$$

Así que tenemos las siguientes dos condiciones:

$$\frac{\partial F}{\partial t}=-\lambda K F(t) \land \frac{\partial ^{2} X}{\partial x^{2}}=-\lambda X(x)$$

Resolviendo estas (y teniendo en cuenta que $\lambda$ puede ser arbitrario), obtenemos:

$$F(t)=\sum_{\lambda} \alpha_{\lambda} \exp(-\lambda K t) \land X(x)=\sum_{\lambda}\left(A_{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x)+B_{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x)\right)$$

La condición de frontera es:

$$T(0,t)=T_{0}\cos(\omega t)$$

Sin embargo, ahora tengo problemas para calcular los coeficientes $\alpha_{\lambda}$, $A_{\lambda}$ y $B_{\lambda}$.

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La pregunta en su forma completa es la siguiente:

La temperatura $T$ en una barra unidimensional cuyos lados están perfectamente aislados obedece la ecuación de flujo de calor: $$\frac{\partial T(x,t)}{\partial t}=K\frac{\partial^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}$$ donde $K$ es una constante. La barra se extiende desde $x=0$ hasta $x=\infty$. La temperatura en el extremo $x=0$ oscila en el tiempo de acuerdo a $T(x=0,t)=T_{0}\cos(\omega t)$. Buscando soluciones separadas en $x$ y $t$ ($T = X(x)F(t)$) encuentra la solución para todos los $x \geq 0$ y $t$, que coincida con la condición de frontera en $x=0$. Dibuja $T$ versus $x$ para $\omega t = \pi/2$, dado que $\frac{\omega}{2K}=\frac{1}{a^{2}}$.

Answer 1

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, #1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$Busca soluciones de la forma $\ds{\,{\rm T}\pars{x,t} \equiv \bracks{% \,{\rm s}\pars{x}\sin\pars{\omega t} + \,{\rm c}\pars{x}\cos\pars{\omega t}}}$ que satisface $\ds{\partiald{\,{\rm T}\pars{x,t}}{t} = K\,\partiald[2]{\,{\rm T}\pars{x,t}}{x}}$ con $\ds{\,{\rm s}\pars{0} = 0}$ y $\ds{\,{\rm c}\pars{0} = T_{0}}$.

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Las soluciones son combinaciones lineales de

\begin{align}&\omega\,{\rm s}\pars{x}\cos\pars{\omega t} -\omega\,{\rm c}\pars{x}\sin\pars{\omega t} =K\,{\rm s}''\pars{x}\sin\pars{\omega t} + K\,{\rm c}''\pars{x}\cos\pars{\omega t} \\[5mm]&\imp\quad\,{\rm c}''\pars{x} - {\omega \over K}\,{\rm s}\pars{x} = 0\,,\qquad \,{\rm s}''\pars{x} + {\omega \over K}\,{\rm c}\pars{x} = 0 \\[5mm]&\imp\quad\bracks{\,{\rm c}''\pars{x} + \ic\,{\rm s}''\pars{x}} +\ic\,{\omega \over K}\bracks{\,{\rm c}\pars{x} + \ic\,{\rm s}\pars{x}}=0 \end{align}

Las soluciones son combinaciones lineales de

\begin{align}&\dsc{\exp\pars{\pm\root{\ic\,{\verts{w} \over K}}x}} =\exp\pars{\pm\pars{1 + \ic}\root{{\verts{w} \over 2K}}x} \\[5mm]&=\exp\pars{\pm\,{x \over a}} \exp\pars{\pm\ic\,{x \over a}} \end{align}

Dado que la ecuación es de segundo orden en $\ds{x}$, requerirá otra condición. Requiramos, $\dsc{\mbox{por ejemplo}}$, que $\ds{\lim_{x\ \to\ \infty}\,{\rm T}\pars{x,t} = 0}$. En ese caso, la solución se convierte en: $$ \,{\rm c}\pars{x} + \ic\,{\rm s}\pars{x}=T_{0}\expo{-x/a}\cos\pars{x \over a} \quad\imp\quad\left\{\begin{array}{rcl} \,{\rm c}\pars{x} & = & T_{0}\expo{-x/a}\cos\pars{x \over a} \\[2mm] \,{\rm s}\pars{x} & = & 0 \end{array}\right. $$

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$$\color{#66f}{\large\,{\rm T}\pars{x,t}} =\color{#66f}{\large T_{0}\expo{-x/a}\cos\pars{x \over a}\cos\pars{\omega t}}$$