Espacio métrico en la clase Topología

Question

En el conjunto de los números enteros $\mathbb Z$ demuestre que la función d, definida como sigue, es una métrica : $$ d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{if } x=y \\ \min\{1/n! \mid n! \text{ divides } |x-y|\} & \text{if } x\neq y \end{cases}$$

axioma del espacio métrico.

• $d(x,y) \geq 0 \quad \forall(x,y) \in X\times X$
• $d(x,y)=0 \iff x=y$
• $d(x,y)=d(y,x) \forall x,y \in X$
• $d(x,y)+d(y,z) \geq d(x,z) \quad \forall x,y,z\in X$

Tengo dificultades para demostrar el 4º axioma. No sé cómo empezar. ¿Hay alguien que me pueda ayudar?

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $a$ divide $b-c$ si divide a $c-b$ de modo que el signo del valor absoluto en la condición $n!$ divide $|x-y|$ puede eliminarse y la condición puede escribirse como $n!|x-y$ (donde este único $|$ es el símbolo de "divide").

Ahora para cada par de enteros distintos $x,y$ deje $n_{xy}$ denotan el mayor $n$ tal que $n!|x-y.$ Entonces $d(x,y)=1/n_{xy}!.$ Desde $d$ es no negativo y $d(x,x)=0$ la desigualdad del triángulo es clara si dos cualesquiera de $x,y,z$ son iguales, por lo que suponemos que son distintos.

Para ver $d(x,y)+d(y,z)$ observamos que si $w=\min(n_{xy},n_{yz})$ entonces $w!$ divide $x-z=(x-y)+(y-z).$ Puede ocurrir que un factorial mayor que $w!$ divide $x-z$ pero tenemos $w \le n_{xz}$ en cualquier caso. Así que tenemos $$d(x,z)=1/n_{xz}! \le 1/w! \le 1/n_{xy}!+1/n_{yz}!=d(x,y)+d(y,z).$$ (En la segunda desigualdad, puesto que $w$ es el menor de los dos de $n_{xy},n_{y,z}$ su factorial recíproco es el factorial recíproco de uno de ellos, por lo que es menor que su suma). Esto en realidad muestra la desigualdad ligeramente más fuerte $d(x,z) \le \min [d(x,y),d(y,z)],$ que recuerda a un $p$ norma adicta.