$A$ tiene un subconjunto denso contable. ¿Cómo describir un posible subconjunto denso contable en$M_n(A)$?

Question

Que $A$ ser un C$^$-álgebra y un subconjunto denso contable en $M$ $A$. Sea $M_n(A)$ $C^$-álgebra de $n\times n$-matrices con las entradas de $A$, $n\in\mathbb{N}$. Entonces $Mn(A)$ debe tener un subconjunto denso contable así. ¿Es $L={(a{ij})_{i,j=1,\ldots,n}\in Mn(A):\; a{ij}\in M\; \text{for all}\; i,j }$ tal un subconjunto?

¿Está claro que $L$ es contable, pero es denso en $L$ $M_n(A)$?

Answer 1

Sí, porque entrywise convergencia en $Mn(A)$ implica convergencia. De hecho, si $a^{(t)}=(a^{(t)}{kj})$, $a=(a{kj})$ y $a{kj}^{(t)}\to a_{kj}$ para cada par $k,j$, entonces el $a^{(t)}\to a$. A continuación es un argumento.

La norma en $M_n(A)$ está dada por la norma del operador de la acción de $M_n(A)$ $H^n$, cuando representamos $A\subset B(H)$. Entonces, para cualquier $b\in Mn(A)$, tenemos\begin{align} |b|&=\sup\left{|\langle b\xi,\eta\rangle|:\ \xi,\eta\in H^n,\ |\xi|=|\eta|=1 \right}\ \ \ &=\sup\left{\left| \sum{k,j}\langle b_{kj}\xi_j,\etak\rangle\right|:\ \xi,\eta\in H^n,\ |\xi|=|\eta|=1 \right}\ \ \ &\leq\sup\left{ \sum{k,j}|\langle b_{kj}\xi_j,\etak\rangle|:\ \xi,\eta\in H^n,\ |\xi|=|\eta|=1 \right}\ \ \ &\leq\sup\left{ \sum{k,j}| b_{kj}|\,|\xi_j|\,|\etak|:\ \xi,\eta\in H^n,\ |\xi|=|\eta|=1 \right}\ \ \ &\leq \sum{k,j}| b{kj}| \ \ \ &\leq n^2\,\max{|b{kj}|:\ k,j=1,\ldots,n}\ \ \ \end {Alinee el} entonces $ |a^{(t)}-a\ | \leq n^2\,\max{|a^{(t)} {kj}-a {kj} \ |: \ k, j = 1, \ldots, n} \to0. $$