En Lévy derrumbando los reales.

Question

Considerar la Lévy obligando noción. Deje $M$ ser transitivo modelo estándar de $\mathsf{ZFC}$. Deje $\aleph_n$ ser la cardinalidad de los números reales $2^\omega$$M$. Ahora colapso $\aleph_n$$\omega$. El modelo resultante $M[G]$ es de nuevo un modelo de $\mathsf{ZFC}$ pero es comprobable en $\mathsf{ZF}$ que $2^\omega$ es incontable.

Podría alguien ayudarme a resolver esta aparente contradicción? Yo estaría muy agradecido.

Y tengo una segunda pregunta: ¿Dónde se puede acceder al documento original que contiene el forzamiento de la noción de explicación? O si no está disponible: hay otros recursos disponibles? (Tengo la sensación de que podría haber sido capaz de resolver mi confusión por mi cuenta con más documentación disponible, pero la Wiki y Jech son más bien demasiado concisa para mí).

Answer 1

Tenga en cuenta que para cada $\alpha<\aleph_{n+1}$ añadimos un bijection entre el$\omega$$\alpha$$M$. Así, en $M[G]$ todos los ordinales son contables ordinales. Por lo que hemos añadido los subconjuntos de a $\omega$ que codifican estas bijections (o el tipo de orden, si usted prefiere pensar acerca de eso). Así que hay $\aleph_{n+1}$ nuevos subconjuntos de a$\omega$$M[G]$.

Por lo tanto, hemos añadido la $(\aleph_{n+1})^M$ números reales a $M$, y cambió $(\aleph_{n+1})^M$$(\aleph_1)^{M[G]}$, porque ahora cada vez que $\alpha<(\aleph_{n+1})^M$ tenemos que $M[G]\models|\alpha|=\aleph_0$. Por lo tanto, en $M[G]$ el menor ordinal no en bijection con $\omega$$(\aleph_{n+1})^M$, lo que hace es $(\aleph_1)^{M[G]}$.

Así que ahora tenemos que $M[G]\models |2^\omega|=(\aleph_{n+1})^M=\aleph_1$.

---

Como referencia de la solicitud, creo que Kanamori es El Más Infinito da una buena exposición sobre la tasa de colapso, así uno de sus famosos utiliza (la construcción de la Solovay modelo donde todos los conjuntos de reales son medibles).