Concurso problemas con conexiones a las matemáticas más profundas

Question

Todos sabemos que los problemas de, por ejemplo, la OMI y la de Putnam de la competencia pueden tener a veces una encantadora conexiones a "las partes más profundas de las matemáticas". Me gustaría ver esos problemas aquí que te gusta, y, por que agregar la conexión que tiene.

La parte más interesante sería ver las soluciones a estos problemas utilizando ambos métodos de primaria, y también con el más abstracto "métodos más profundos". Esperemos que, más método abstracto debe hacer una solución más fácil. Este sería niza ejemplos sobre cómo la abstracción podría hacer que los problemas más fácil.

Espero que esto no es demasiado subjetiva.

Answer 1

Esto no es exactamente lo que usted quiere que, pero....

En el 1971 Putnam, no era una pregunta, muestran que si $n^c$ es un número entero para $n=2,3,4,\dots$ $c$ es un número entero.

Si intenta mejorar en esta demostrando que si $2^c$, $3^c$, y $5^c$ son enteros, a continuación, $c$ es un número entero, se encuentra que la prueba depende de una muy profunda resultado se llama Los Seis Exponenciales Teorema.

Y si intenta mejorar aún más demostrando que si $2^c$ $3^c$ son enteros, a continuación, $c$ es un número entero, bueno, es lo que generalmente se cree para ser verdad, pero que no se había demostrado en 1971, y creo que aún no demostradas.