Calcular

Question

Tengo que evaluar $\int_{|z|=1}\frac{dz}{\sin z}$. ¿Algún consejo?

Answer 1

Yo no soy un experto (lejos), pero aquí vamos:

Una posible solución parece estar usando el teorema de los residuos.

$$\int\limits_{\partial B+(O,1)}\frac{\operatorname d z}{\sin z} = 2\pi i \sum_{k} \text{res}_{z=z_k} \frac{1}{\sin z}$$

Lo que se traduce en el cálculo de los residuos de esta función. Desde que se integra en la unidad de círculo no es un polo de orden 1 en $z=0$. Usted puede utilizar el Laurent de expansión para encontrar el residuo.

Laurent expansión

$$\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots}$$ $$= \frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{z^2}{3!}+\ldots}$$

Sólo estamos interesados en el coeficiente del segundo factor en $z^0$. Debido a que estamos trabajando de la unidad de círculo se puede afirmar: $$= \frac{1}{z}\left(1+\frac{z^2}{6}+\ldots\right)$$

Que significa un residuo de $1$, y la integral se evalúa a $2\pi i$.