Si $E(X^2)=1$ y $E(|X|)\ge a >0$ y $P(|X|\ge\lambda a)\ge (1-\lambda)^2a^2$ $0\le \lambda \le 1$.
De la desigualdad conocida $E(|X|) \le E(|X|^2)^{1/2}$ que debe ser el caso puedo ver que $a\le 1$. Pero, qué hacer a continuación no estoy seguro.
Respuesta
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Tenga en cuenta % $ $$a\le E(|X|)=E(|X|\cdot 1_{|X|
Desigualdad de Cauchy-Schwarz y observando que $E(X^2)=1$, tenemos
$$E(|X|\cdot 1{|X|\ge \lambda a})\le \big(E(X^2)\big)^{\frac{1}{2}}\cdot \big(E(1{|X|\ge \lambda a})\big)^{\frac{1}{2}}=\big(P(|X|\ge \lambda a)\big)^{\frac{1}{2}}.\tag{2}$$ Combinando $(1)$ y $(2)$, la conclusión sigue.
