Dado un $2 \times 2$ matriz $B$ $B^2=3B-2I$ que, encontrar los valores propios de $B$

Question

Dado un $2 \times 2$ matriz $B$ que satisface $B^2=3B-2I$, hallar los autovalores de a $B$.

Mi intento:

Deje $v$ ser un vector propio de B, y $\lambda$ correspondiente al autovalor. También, vamos a $T$ ser la transformación lineal (no es que esto es exactamente necesario para la pregunta, pero acaba de agregar en mi entendimiento.) Por lo tanto,

$$T(v) = Bv = \lambda v$$

Ahora estoy seguro de cómo incorporar esta información en la ecuación cuadrática dada anteriormente dado por la matriz por vector de la aritmética no es muy sólido. Gracias!

Answer 1

Supongamos que $\lambda $ es un valor propio $B$, con vector propio $v$. Tenga en cuenta que $B^2v=BBv=B(\lambda v)=\lambda^2v$. Aplicar a cada lado de la ecuación de $B^2=3B-2I$ % vector $v$$\lambda^2 v= (3\lambda -2)v$o $(\lambda^2-3\lambda +2)v=0$. Si un escalar veces un vector distinto de cero es el vector cero, entonces el escalar es $0$, que $\lambda^2-3\lambda +2=(\lambda -1)(\lambda -2) =0$. Esto significa que el conjunto de valores propios de $B$ es un subconjunto de ${1,2}.$ es imposible determinar a qué subconjunto de la información dada, como mostrar ejemplos de matriz diagonal.

Answer 2

Definir $p(x) = (x-1)(x-2)$. Tienes $p(B) = 0$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de $B$ divide $p$. Por lo tanto, sus valores propios son en ${1,2}$.