Cuál es la distribución límite de $Z_n = \frac{X_1 X_2 + X_3 X_4 + \cdots + X_{2n-1} X_{2n}}{\sqrt{n}}$

Question

Espero que esto no es un duplicado.

Que $ X_1,X_2, \ldots$ ser RVs iid % media $0$, % de varianza $1$y $E{X_i}^4

Han aprendido recientemente la ley débil de los grandes números, fuerte ley de números grandes y Teorema de límite Central, pero actualmente no tienen idea cómo abordar el problema. Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Consejo: Definir $Yj := X{2j-1}X_{2j}$. Entonces usted tiene %#% $ #%

¿Cuál es la distribución limitante ahora? (Pase a continuación para una respuesta más completa)

El teorema del límite central nos dice que esto es asintóticamente normal, sólo tienes que encontrar la media y varianza. Sabemos que $$Z_n = \frac{Y_1 + \cdots +Y_n}{\sqrt{n}}.$ y $E[Y] = E[X]E[X] = 0$, lo que implica que el $E[Y^2] = E[X^2]E[X^2] = 1$ es asintóticamente normal estándar.