Distribución de puntos en curvas elípticas sobre limites finitos.

Question

Sea$E$ una curva elíptica definida sobre un campo finito${\bf F}_p,$ donde$p$ es primo. Del teorema de Hasse obtenemos$p+1-2\sqrt{p} \leq |E({\bf F}_p)|\leq p+1+2\sqrt{p}.$. Ahora digamos que elegimos aleatoriamente los coeficientes de$E$ del intervalo$[0,p)\cap {\bf Z}$ de tal manera que$E$ es elíptico.

Entonces, (i) podemos decir algo sobre$Pr(|E({\bf F}_p)|=k)?$

(ii) El número$|E({\bf F}_p)|$ toma uniformemente, todos los valores en el intervalo$[p+1-2\sqrt{p},p+1+2\sqrt{p}]\cap {\bf Z}\ ?$

Answer 1

Esto es muy similar a, pero no del todo, un clásico resultado de Deuring que clasifica el número de curvas elípticas sobre un campo finito con un número determinado de puntos hasta el isomorfismo. Le sugiero que lea este papel de Schoof. Esto no es suficiente para dar toda la probabilidad, pero sí hacer un montón de trabajo. También muestra que en la parte (ii) de su pregunta tiene una respuesta negativa.

[1] Schoof, R, Nonsingular plana cúbicas más finito campos, J. Combinat. La Teoría De La Serie A 46. (1987), no. 2, 183-211.