¿Cuál es la historia de este teorema sobre la suma finita de un polinomio?

Question

He descubierto y demostrado el siguiente teorema de nuevo en la preparatoria, y han esperado pacientemente para escuchar algo acerca de a lo largo de mi carrera universitaria (que está casi al final, la esperanza de haber terminado mi doctorado en menos de un año) fue en vano. Tengo la esperanza de que algunos de ustedes pueden reconocer el teorema y ser capaz de arrojar algo de luz sobre la historia, o incluso me dan es nombre propio. No teniendo nada mejor que llamar a que me he referido a ella como "El teorema fundamental del cálculo discreto" debido a su similitud con el teorema fundamental del cálculo. De todos modos, aquí está el teorema (que se presenta con mucha más claridad, a continuación, que hacía en la escuela secundaria).

Deje $p(x)$ ser un polinomio de grado $d$ tiene la siguiente representación en el binomio base, $$p(x) = \sum_{i=0}^d a_i \binom{x}{i}$$

También vamos a $C$ ser una constante arbitraria y deje$$P(x) = \sum_{i=0}^d a_i \binom{x}{i+1} + C$$

A continuación, $$\sum_{i=a}^b p(i) = P(b+1) - P(a)$$

Esto es claramente análoga a la del teorema fundamental del cálculo donde: $P$ es como un "discreto antiderivada" de $p$.

También de la nota es que este trivializa muchos de la inducción de las pruebas que se nos ve a través de cuando el primer aprendizaje de inducción, tales como $$\sum_{i=1}^n i = \binom{n+1}{2}$$

Así que cualquier cosa me puedes decir acerca de la historia de el teorema o la asignatura de "cálculo discreto" (que ni siquiera sé si ese es el nombre correcto) se agradecería mucho, gracias de antemano!

Answer 1

Aquí están algunas otras cosas a considerar.

Como una generalización, esta identidad $$ \sum_{j=m}^{n-k}\binom{n-j}{k}\binom{j}{m}=\binom{n+1}{k+m+1}\etiqueta{1} $$ se ha comprobado en esta respuesta el uso de Vandermonde de la Identidad. Si establecemos $k=0$, obtenemos que $$ \sum_{j=m}^{n}\binom{j}{m}=\binom{n+1}{m+1}\etiqueta{2} $$ a partir de la cual, su fórmula se comprueba fácilmente.

$(2)$ es la inversa de la vanguardia de la diferencia de los coeficientes binomiales: $$ \binom{j+1}{m+1}-\binom{j}{m+1}=\binom{j}{m}\etiqueta{3} $$ Es decir, que se puede resumir $(3)$ $n$ conseguir $(2)$ en una suma telescópica. $(3)$ es simplemente una reorganización de la identidad de la definición de Triángulo de Pascal: $$ \binom{j+1}{m+1}=\binom{j}{m}+\binom{j}{m+1}\etiqueta{4} $$