Validez del método de diferencias finitas

Question

Estoy utilizando el Método de diferencias Finitas para resolver la ecuación de Poisson

$$\frac{\partial \phi}{\partial z^2} = \frac{\rho}{\epsilon}$$

Para hacerlo se discretiza de acuerdo a la Aproximación de diferencias Finitas de segundo orden derivados generando el siguiente conjunto de ecuaciones para cada punto de la cuadrícula

$$\frac{1}{2\Delta z^2}(\phi_{i+1}+\phi_{i-1}-2\phi_{i}) = \frac{\rho_{i}}{\epsilon} $$

Mi pregunta es la siguiente: ¿hay alguna manera sencilla de ver cómo muchos puntos y por lo tanto lo espaciado $\Delta z$ uno debe elegir para producir resultados confiables? Obviamente, usted debe elegir más de 5 pero debo elegir 500, 5000 o 50000? Preguntado de otra manera: Más de lo que la longitud de la escala será el potencial electrostático variar de manera significativa? Supongo que si esto es conocido que uno debe hacer el espacio más pequeño que esta escala de longitud.

Una vez hice algo similar para la Ecuación de Schrödinger. En este caso fue sencillo para ver cuál es la longitud de onda característica de las soluciones que se fueron y, a continuación, elegir el espacio mucho más pequeño que este.

Answer 1

Estás buscando la convergencia de la simulación. Para el más simple FD plan, usted tiene $$ u(x)\approx\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} $$ que es $\mathcal{O}(h^2)$, como se comprueba fácilmente con una expansión de Taylor. Aquí, $h$ va a ser inversamente proporcional al número de puntos de la malla, $N$: $$ h\propto\frac{1}{N} $$ donde la igualdad se aplica en el caso de la anchura del dominio es de 1 unidad. Así que si usted aumenta el número de puntos de la malla, disminuirán $h$ y por lo tanto el error de $h^2$ disminuye aún más.

Para comprobar la convergencia de la simulación, se debe, idealmente, comparar su simulación a un conocido de la solución. Si eso no funciona, entonces usted puede comparar su solución en tres resoluciones (normalmente $N/2$, $N$ y $2N$). Con estas soluciones, usted podría mirar a la L-2 de la norma: $$ E(N)=\frac{\vert u_{N} - u_{N/2}\vert}{\vert u_{2N} - u_{N}\vert} $$ donde $$ \vert y\vert = \sqrt{ \frac{1}{N}\sum_{j=1}^ny\left(jh\right)^2} $$ es el $L_2$ norma. El valor de $E(N)/E(N/2)$ debe ser de aproximadamente 2. Es probable que desee para recoger $N$ a 100, 200, 400, 800 y 1600 para iniciar con el trabajo y desde allí (puede que tenga que ir más alto).

Al hacer esto, tenga en cuenta que $E(N)$ va a llegar a unos mínimos y, a continuación, empezar a aumentar debido a errores de redondeo. Va a ser antes de este incremento, que te quieren detener el aumento de $N$ y el uso de un valor en ese intervalo. Usted también puede encontrar que $E(N)$ es lo suficientemente pequeño para sus fines y está bien que parar allí.

También es posible, aunque no probable en 1D, que el número de puntos de la malla es demasiado grande para manejar su equipo de manera eficiente y ustedes no están en un nivel de error que usted se sienta cómodo. En este caso, usted debe tratar de un esquema de orden superior (Wikipedia tiene una bonita tabla de coeficientes para los diferentes esquemas de diferencias finitas) y repita el ejercicio.