Entiendo por varios argumentos heurísticos que en una dimensión, el operador cuántico-mecánico $\hat{p} = -i\hbar\,\partial_x$ corresponde al momento clásico $p$ en el sentido de que una partícula descrita por la función de onda $\Psi(x,t)$ tiene el impulso esperado $$ \langle p \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{p} \Psi \,\mathrm{d}x. $$ ¿Por qué se deduce entonces que el operador cuántico-mecánico $\hat{p}^2 = \hat{p} \circ \hat{p}$ corresponde al cuadrado del momento clásico, $p^2$ ? En general, ¿el cuadrado de una cantidad clásica $q$ corresponden siempre a la composición de su operador mecánico-cuántico, $\hat{q}$ ¿con ella misma? ¿Se aplica lo mismo a los poderes superiores de $q$ es decir, ¿el $n$ -composición doble $\hat{q} \circ \hat{q} \circ \cdots \circ \hat{q}$ forman el operador correspondiente a $q^n$ ?
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Desde $\hat{p}$ es un operador hermitiano, siempre se puede expandir la función de onda $|\psi\rangle$ como una combinación lineal de los estados propios de $\hat{p}$ , $$|\psi\rangle=\sum_{p}\psi(p)|p\rangle,$$ donde el estado propio $|p\rangle$ satisface la ecuación $\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle$ . Con esta configuración, podemos mostrar primero $\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\langle p\rangle$ y luego mostrar $\langle\psi|\hat{p}\circ\hat{p}|\psi\rangle=\langle p^2\rangle$ . Las siguientes son las matemáticas. $$\begin{split} \langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle&=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)\langle p_1|\hat{p}|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)\langle p_1|p_2|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)p_2\langle p_1|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)p_2\delta_{p_1,p_2}\\ &=\sum_{p}\psi^*(p)\psi(p)p\\ &=\sum_{p}\rho(p) p\\ &=\langle p\rangle \end{split}$$ Nótese que el cuadrado de la norma de la función de onda $\psi^*(p)\psi(p)=|\psi(p)|^2=\rho(p)$ da la distribución de probabilidad $\rho(p)$ y la última línea es sólo la definición del valor de la expectativa de la variable aleatoria $p$ . La misma deducción se aplica a $\langle p^2\rangle$ . $$\begin{split} \langle\psi|\hat{p}\circ\hat{p}|\psi\rangle&=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)\langle p_1|\hat{p}\circ\hat{p}|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)p_2\langle p_1|\hat{p}|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)p_2^2\langle p_1|p_2\rangle\\ &=\sum_{p_1}\sum_{p_2}\psi^*(p_1)\psi(p_2)p_2^2\delta_{p_1,p_2}\\ &=\sum_{p}\psi^*(p)\psi(p)p^2\\ &=\sum_{p}\rho(p) p^2\\ &=\langle p^2\rangle \end{split}$$ Se puede ver que la deducción anterior se puede generalizar a cualquier potencia, y tenemos $\langle\psi|\hat{p}^{\circ n}|\psi\rangle=\langle p^n\rangle$ . Se puede ir aún más lejos utilizando la expansión en serie de potencias de las funciones analíticas que $f(p)=f_0+f_1 p+\frac{1}{2} f_2 p^2+\cdots$ para demostrar que la correspondencia entre el operador y el valor de la expectativa se mantiene incluso para las funciones $\langle\psi|f(\hat{p})|\psi\rangle=\langle f(p)\rangle$ . Y por supuesto $\hat{p}$ no se limita al operador de momento, puede ser sustituido por cualquier operador hermitiano. La afirmación es que para cualquier observable físico, representado por un operador hermitiano $\hat{A}$ en la mecánica cuántica, el operador $f(\hat{A})$ corresponde a su observable clásico $\langle f(A)\rangle$ para cualquier función analítica $f$ .
Si entiendo bien la pregunta (no estoy seguro de hacerlo...), La pregunta es básicamente una de álgebra lineal.
Considere un operador $\hat{A}$ que tiene un valor propio $a$ , las funciones propias/vectores propios de $\hat{A}$ se denotan por $|a\rangle$ tal que: $$ \hat{A}|a\rangle=a|a\rangle $$
Consideremos ahora un compuesto de $\hat{A}\circ\hat{A}$ que opera en $|a\rangle$ : $$ \hat{A}\circ\hat{A}|a\rangle=a\hat{A}|a\rangle=a^2 |a\rangle $$ Por lo tanto, es una notación conveniente escribir $\hat{A}^2\equiv\hat{A}\circ\hat{A}$ at también se utiliza en la notación matemática.
Otro hecho divertido es que un operador siempre conmutará consigo mismo de esta manera: $$ \left[\hat{A},\hat{A}\right]=0 $$ Así que no hay miedo a la ambigüedad al utilizar un término como $\hat{A}^2$ o $\hat{A}^n$ para el caso.
En cuanto a la correspondencia física, los propios operadores están etiquetados por el valor de la expectativa que producen, por lo tanto, en el espacio del momento, $\hat{P}$ operando en un momento ket, produce el valor propio del momento. "intercalados" así: $$ \langle p|\hat{P}|p\rangle =p $$ esto produce el valor propio correcto que corresponde al momento de ese estado. También es un hecho divertido, que: $$ \langle p|\hat{X}|p\rangle \neq x $$ Así que es una convención de etiquetado conveniente esencialmente.
editar: Sobre la convención: "para las propiedades fundamentales tomaremos prestados sólo los nombres de la física clásica" - J.Schwinger
Se puede ver el momento como generador de traslaciones, por lo que aplicando el operador $\hat{P}$ una vez traduce la función una vez (infinitesimalmente), aplicándola entonces, de nuevo, a la función traducida $\hat{P}\psi$ lo traduce de nuevo.
Le remito al capítulo 1.6 de Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai. Allí hay toda una discusión sobre el operador de momento.
