¿Mostrar grupos abelianos de orden 3240?

Question

Mostrar cómo conseguir todos los abelian grupos de orden $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$.

Acabo de empezar a aprender esto, y se preguntaba cómo habría que hacerlo?

Es esto correcto?

$2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 = 3240$. Por lo tanto el número de abelian grupos de orden $3240$$3 \cdot 4 = 12$.

Es esta la totalidad de la prueba o qué tenemos que hacer la tabla que muestra los divisores como este?

Divisores:

$2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$

$2^2 \cdot 2 \cdot 3^4 \cdot 5$

$2^2 \cdot 2 \cdot 3^3 \cdot 3 \cdot 5$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3^3 \cdot 3 \cdot 5$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cdot 3 \cdot 5$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3^4 \cdot 5$

$2^2 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

$2^3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

$2^3 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

$2^3 \cdot 3^3 \cdot 3 \cdot 5$

Answer 1

Usted tiene la idea correcta, pero hay 5 abelian grupos de orden $3^4$, no 4. Usted puede tener:

1. $\def\zt{\Bbb Z_3}\Bbb Z_{81}$
2. $\Bbb Z_{27}\times\zt$
3. $\Bbb Z_{9}\times\Bbb Z_{9}$
4. $\Bbb Z_{9}\times\zt\times\zt$
5. $\zt\times\zt\times\zt\times\zt$

Estos se corresponden con los 5 sentidos (no 4) que se puede expresar de 4 como suma de enteros positivos: $4, 3+1, 2+2, 2+1+1,$$1+1+1+1$, respectivamente. (De manera similar, no hay 5 pero 7 abelian grupos de orden $3^5$.)

Me gustaría observar esto, la lista de los grupos de orden $2^3$$3^4$, y luego dicen que no se $3\cdot5\cdot1 = 15$ abelian grupos de orden $2^3\cdot3^4\cdot5$, sin listado de todos los 15, pero por otro lado, listado de ellos podía herir. Si usted hace una lista de ellos, hacerlo de forma metódica, no todos mezclados como lo hizo anteriormente, de modo que usted (y el grado) puede estar seguro de no omitir ninguna de lista o de cualquier dos veces.

Estoy de acuerdo con vadim123 que usted debe citar el teorema de por su nombre, en particular desde el punto de este ejercicio es mostrar que usted sabe fundamentales de clasificación teorema de finito abelian grupos. Averiguar lo que es llamado en el texto, y llamar a eso.

Answer 2

Usted está implícitamente usando el Teorema Fundamental de Finito Abelian Grupos. Usted debe citar este por su nombre.

De orden de $8=2^3$, usted puede tener $\mathbb{Z}_8$ o $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_4$ o $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$. Similares que existen opciones para la $3^4$.

Para explicar completamente, me gustaría escribir cada uno de los anteriores (3 versiones para $2^3$, 5 versiones para $3^4$), para justificar la $3\times 5$ cálculo.

Edit: Corregido el número de subgrupos de orden $3^4$.