¿Es este axioma autocontradictorio?

Question

Estaba en stackexchange de física y me encontré con un inusual responder donde se afirmaba que el axioma

$$\forall x ((x \in x) \land (x \notin x))$$

Crea un sistema de axiomas donde "nada" existe en él. Me equivoqué al citarlo, aquí hay un exacto,

"De ese único axioma podemos concluir que no existe nada, que el universo del discurso de este sistema de axiomas es exactamente el universo vacío del discurso".

No hace falta decir que me metí en un acalorado debate sobre la autoconsistencia del axioma. Mi posición es que no puede crear un universo o universo de discurso porque no hay entidades dentro de él. Véase definición de la wikipedia

En inglés, interpreto que el axioma dice,

Para todo X, X es un elemento de sí mismo y X no es un elemento de sí mismo.

Esto parece contradictorio, parecido a la paradoja de Russell, pero la Op insiste en que no lo es.

Estoy abierto a cualquiera de los dos puntos de vista, pero una simple respuesta de sí/no no será suficiente. Una revisión de la definición también podría ayudar a cuantificar el diálogo.

Si sirve de ayuda, desde un punto de vista semi-filosófico-matemático considero que nada es el conjunto nulo.

Answer 1

Trabajando en la lógica clásica, las reglas de la lógica dictan que $x\in x\land x\notin x$ es una afirmación falsa.

Por lo tanto, la única estructura que satisface $\forall x(x\in x\land x\notin x)$ es la estructura vacía. Sin embargo, debido a razones superficiales, elegimos no aceptar la estructura vacía como una interpretación válida de un lenguaje de primer orden, por lo que no es un modelo de este axioma.

En particular, significa que cualquier teoría que incluya este axioma es inconsistente. Si se quiere argumentar en lógica no clásica, tal vez en lógica paraconsistente, eso es otra cosa que debería mencionarse explícitamente.

(Eché un vistazo rápido a la respuesta de Phy.SE, y probablemente me mantendría alejado de esa respuesta y, como regla general, ignoraría en gran medida cualquier afirmación sobre lógica matemática hecha en Phy.SE sin referencias).

Answer 2

Este es un ejemplo de cómo las convenciones matemáticas suelen estar divididas en cuanto a la situación de los casos degenerados.

Algunos enfoques más modernos de la lógica permiten, en efecto, universos vacíos de discurso. Por ejemplo, es probable que lo veas en cualquier fuente que trabaje con la lógica de primer orden desde el punto de vista de la teoría de las categorías.

Sin embargo, los enfoques más tradicionales rechazan los universos vacíos de discurso. En la formulación correspondiente de la lógica de primer orden, su fórmula sería efectivamente una contradicción.

Answer 3

Una fórmula de la forma $\phi \land \lnot\phi$ no tiene modelos (salvo en la teoría de modelos de algunas lógicas subestructurales bastante oscuras). Esto no tiene relación con la paradoja de Russell y no es nada profundo. No existe un "modelo vacío" para un lenguaje no vacío, por ejemplo, un lenguaje que incluya el símbolo de pertenencia $\not\in$ .

[Debo señalar que esta respuesta no no conflicto con la respuesta de Asaf Karagilia: si se permiten modelos que tienen universos vacíos, entonces $\forall x(\psi(x)\land\lnot\psi(x))$ no tiene la forma $\phi\land\lnot\phi$ y puede mantenerse en un modelo con un universo vacío. Sin embargo, permitir modelos con universos vacíos te sitúa en el ámbito nada clásico de lógica libre .]