Subespacio dimensional finito de $C([0,1])$

Question

Dejemos que los lineales $S$ sea un subespacio de $C([0,1])$ es decir, las funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ . Supongamos que existe $c>0$ , de tal manera que $\|\,f\|_\infty\leq c \|\,f\|_2$ para todos $f\in S$ . Entonces demuestre que $S$ es de dimensión finita.

Esto equivale a demostrar que la bola unitaria cerrada en $(S,\|\|_\infty)$ o en $(S,\|\|_2)$ es compacto, pero no puedo derivar esto.

Otra idea es que el $L^2$ cierre de $S$ es un subconjunto de $C([0,1])$ . De hecho, si $f_n\to f\in L^2$ entonces la relación dada $\|f_n-f\|_\infty \leq c\|f_n-f\|_2$ implica que $f_n\to f$ en $L^\infty$ Así que $f$ es continua. Por lo tanto, tenemos la inclusión $$S\subset \overline{S}^{L^2}\subset C([0,1])\subset L^2$$ Si $S$ era de dimensiones infinitas, entonces $\overline{S}$ sería un espacio hilbert de dimensión infinita, subconjunto propio de $L^2$ .

Otra idea es que todos los $L^p$ normas sobre $S$ son equivalentes (por Holder). Si TODAS las normas son equivalentes, entonces $S$ tiene que ser de dimensión finita.

Answer 1

Permítanme aportar una prueba detallada:

Supongamos que $v_1,\ldots, v_n\in S$ son funciones ortonormales, es decir $\int_0^1 v_iv_j\,dx=\delta_{ij}$ y por un fijo $a=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n$ definir $\varPhi_a :\mathbb R^n\to \mathbb R$ como $$ \varPhi_a(x)=\sum_{j=1}^n a_jv_j(x). $$ Entonces $$ \|\varPhi_a\|_{L^2}^2=\sum_{j,k=1}^n\int_0^1a_ja_kv_jv_k \,dx=\sum_{j=1}^n a_j^2=\|a\|^2, $$ y así, para cada $x\in [0,1]$ $$ \lvert a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)\rvert =\lvert\varPhi_a(x)\rvert \le \|\varPhi_a\|_{L^\infty} \le c\|\varPhi_a\|_{L^2}\le c\|a\|, $$ y como lo anterior es válido para cada $a\in\mathbb R^n$ concluimos que $$ v_1^2(x)+\cdots+v_n^2(x)\le c^2,\tag{1} $$ por cada $x\in [0,1]$ . [Tenga en cuenta que si $\sum_{j=1}^n a_jb_j\le c\big(\sum_{j=1}^n a_j^2)^{1/2}$ para todos $a_1,\ldots,a_n$ y, a continuación, establecer $a_j=b_j$ , $j=1,\ldots,n$ obtenemos que $\sum_{j=1}^n b_j^2\le c^2$ .]

Integración de $(1)$ en $[0,1]$ obtenemos que $$ n\le c^2. $$ Hemos deducido que $\,\dim S \le c^2$ .

Nota. Todo lo anterior se puede generalizar fácilmente en el caso complejo.

Answer 2

Se puede aplicar un teorema de Grothendieck al cierre de $S$ en $L^2$ que está (como muestra) contenida en $C([0,1]) \subseteq L^\infty$ .

El teorema de Grothendieck dice que todo subespacio cerrado de $L^p(\mu)$ (donde $\mu$ es una medida de probabilidad en algún espacio medible y $0<p<\infty$ ) que se encuentra en $L^\infty(\mu)$ es de dimensión finita.

Una referencia conveniente es la obra de Rudin Análisis funcional Teorema 5.2.