(No) existencia de arcos circulares a través del conjunto de puntos

Question

Tengo dos arcos circulares $ABCF$ $ADEF$ que tienen los mismos extremos de $A, F$ y contienen los puntos de $B, C$ $D, E$ en el orden especificado.

Cómo puedo probar que no puede haber un arco circular $BCDE$, es decir, uno que se inicia en $B$, se cruza con $C$ $D$ y termina en $E$?

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Si ambos arcos son menores arcos circulares, puedo demostrar que $B$$E$, debe recaer en los diferentes lados de la línea a través de $C$$D$, por lo tanto cualquiera de las $BCD$ sería de las agujas del reloj y $CDE$ hacia la izquierda o la otra manera alrededor. De cualquier forma ellos no podrían formar un arco circular $BCDE$ juntos.

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Sin embargo, el caso en que uno (o ambos) son los principales arcos circulares que me causa problemas.

Edit 1: por Favor, tenga en cuenta que los arcos circulares que no se superponen.

Edit 2: Para aclarar – el 'dibujo', cuyo (no)existencia que yo quiero probar contiene arcos circulares $AB, BC, CF, AD, DE, EF, BC, CD, DE$. Ninguno de estos pueden superponerse y se formarán grandes arcos circulares juntos: $ABCF$ es de $AB, BC, CF$; $ADEF$ está hecho de $AD, DE, EF$; y $BCDE$$BC, CD, DE$.

Answer 1

Esta respuesta se llama la figura 1 a continuación "un cuadrilátero $BCDE$" y en la figura 2 a continuación, en "un cuadrilátero $BCED$". Los vértices de la figura 1 se $B,C,D,E$ de las agujas del reloj. Por otro lado, los vértices de la figura 2 se $B,C,E,D$ de las agujas del reloj.

$\qquad\qquad\qquad$

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Para demostrar por contradicción de que no hay ningún círculo en el que $B,C,D,E$ existen en este orden, vamos a suponer que existe un círculo.

Veamos, en la suposición, lo que las condiciones de los cuatro puntos $B,C,D,E$ en la cifra dada en la pregunta que ha de satisfacer.

Ahora, supongamos que existe un círculo en el que $B,C,D,E$ existen en este orden. (vea la figura de abajo. Tenga en cuenta que el cuadrilátero aquí es $BCDE$, no $BCED$.)

$\qquad\qquad\qquad$

Entonces, desde el ángulo inscrito teorema, tenemos $$\angle{BCE}=\angle{BDE}\tag1$$ $$\angle{CBD}=\angle{CED}\tag2$$ $$\angle{CDB}=\angle{CEB}\tag3$$ $$\angle{DCE}=\angle{DBE}\tag4$$

Estas son las condiciones necesarias que los cuatro puntos de $B,C,D,E$ en la cifra dada en la pregunta que ha de satisfacer para tener un círculo en el que $B,C,D,E$ existen en este orden.

Ahora regresemos a la figura dada en la pregunta.

Ahora sabemos que los cuatro puntos de $B,C,E,D$ en la cifra dada en la pregunta que han de satisfacer $(1)(2)(3)(4)$.

Así, a partir de $(1)(2)$, tenemos que el cuadrilátero $BCED$ ( $BCDE$ ) tiene que ser un paralelogramo.

Y de $(3)(4)$, el interior cuatro ángeles tiene que ser el mismo, y por tanto tenemos que el cuadrilátero $BCED$ (de nuevo, no $BCDE$) tiene que ser un rectángulo. (vea la figura de abajo. La figura a continuación es el mismo que el de la figura dada en la pregunta, salvo que tenemos de que el cuadrilátero $BCED$ tiene que ser un rectángulo.)

$\qquad\qquad$

Entonces, finalmente, vemos que el orden de los cuatro puntos en el círculo circunscrito del rectángulo $BCED$ se $B,C,E,D$.

Esto contradice la suposición de que hay un círculo en el que $B,C,D,E$ existen en este orden.

Se sigue de esto que no hay ningún círculo en el que $B,C,D,E$ existen en este orden. $\blacksquare$

Answer 2

Supongamos que tenemos el círculo de la unidad centrado en el origen. Luego podemos asignar puntos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, y $F$ tienen coordenadas $$A = \left( \cos \theta_1, \sin \theta_1 \right), $ $ $$B = \left( \cos \theta_2, \sin \theta_2 \right), $ $ $$C = \left( \cos \theta_3, \sin \theta_3 \right), $ $ $$D = \left( \cos \theta_4, \sin \theta_4 \right), $ $ $$E = \left( \cos \theta_5, \sin \theta_5 \right), $ $ $$F = \left( \cos \theta_6, \sin \theta_6 \right), $ $ $$ \theta_1

Answer 3

Hay solamente un círculo circunscrito de círculo que tienen para el centro de la intercection de la bissection del triángulo.

La intersección de la bissections de un triángulo es dentro del área de un triángulo no puede pertenecer a ambos triángulos!