Existencia y homotopies de incrustaciones entre complejos de simplicial

Question

Deje $K$ $L$ ser simplicial complejos, $m=\dim K$, e $h:|K|\rightarrow |L|$ ser un mapa continuo. Mostrar que $h$ es homotópica a un mapa de la realización de $K$ a $L^{(m)}$, $m$- esqueleto de la $L$.

Estoy teniendo un montón de problemas con este problema. Puedo ver por qué es cierto, pero estoy pegado al escribir la prueba en el caso de que $h$ no satisface la condición de estrella (que para cada una de las $u\in\operatorname{vert}(K)$ no es un porcentaje ( $v\in\operatorname{vert}(K)$ $h(\operatorname{st}(u))\subseteq \operatorname{st}(v)$).

Por ejemplo, supongamos que estamos asignación de lleno en el triángulo $abc$ en dos llenos en triángulos, $x_1y_1z_1$$x_2y_2z_2$, acompañado por un borde, $x_1x_2$. Además, supongamos que el$h(a)\in\operatorname{int}(x_1y_1z_1)$$\{h(b),h(c)\}\subseteq \operatorname{int}(x_2y_2z_2)$. Yo sé lo que tenemos que hacer es "pull $h(a)$ a $x_2y_2z_2$ a través del borde de la $x_1x_2$", a continuación, asignar $h(a)h(b)h(c)$$x_2y_2z_2$. Pero no sé cómo a la palabra que matemáticamente, y ciertamente no se puede pensar en cómo generalizar. Tal vez me estoy tomando el enfoque equivocado.

Answer 1

La subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial $K$ se construye mediante la adición de un vértice al centro de gravedad de cada simplex y el cono a su límite. Repitiendo esta operación $n$ veces da la $n^\text{th}$ subdivisión baricéntrica $\operatorname{Sd}^n(K)$.

El simplicial aproximación teorema establece que si $g:|K|\rightarrow |L|$ es continuo, donde $K$ $L$ son simplicial complejos, entonces existe un número entero $n$tal que $g$ tiene un simplicial aproximación $f:\operatorname{Sd}^n(K)\rightarrow L$.

Por este teorema, podemos tomar un simplicial aproximación $f:\operatorname{Sd}^n(K)\rightarrow L$ $h$ para algunos lo suficientemente grande $n$. Subdivisión baricéntrica no afecta a la dimensión de un espacio, por lo $f$ mapas de $\operatorname{Sd}^n(K)$ a $L^{(m)}$, por lo que, en particular, $f$ mapas de $K$ a $L^{(m)}$. Podemos probar sin mucho problema en que un mapa continuo $g$ es homotópica a cualquier simplicial aproximación de $g$, por lo que basta con aplicar esto a $h$$f$.