¿Es convergente$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}i^{n(n+1)}$?

Question

Cómo analizar la convergencia de la serie.

PS

He pensado en usar los resultados de alternar series, pero esta no es exactamente una de esas. También traté de mostrar que la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy y luego encontrar una subsecuencia convergente de ellas, pero tampoco tuve éxito.

Observación: Incluso sé que esta serie es realmente convergente ...

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier entero positivo$N$,$$S_{2N+1}=\sum_{n=1}^{2N+1} \frac{(-1)^n}{n}i^{n(n+1)}=1+\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}\right).$ $ Además$S_{2N}=S_{2N+1}-\frac{(-1)^N}{2N+1}$ lo que implica que si$S_{2N+1}\to L$ entonces$S_{2N}\to L$ también. De ahí que la serie sea convergente por Leibniz.

Una vez que se establece la convergencia, se sigue que \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}i^{n(n+1)}&=\lim_{N\to +\infty} S_{2N+1}= \lim_{N\to +\infty}\left(\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^n}{n} +\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} +\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=-\frac{\ln(2)}{2}+\frac{\pi}{4}. \end {align *}