La siguiente declaración es válida en $\mathbb{R}$: si $(a_{ij})$ es simétrica y $a_{ii} > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|$ todos los $i$, $(a_{ij})$ es positiva definida. Ahora bien, si tenemos un "algebraica" declaración de validez de más de $\mathbb{R}$, será válido cualquier "real campo cerrado". Esa declaración es $\langle A x, x\rangle > 0$ todos los $x \ne 0$. Pero su ordenó campo puede ser incrustada en un verdadero campo cerrado, por lo que la instrucción es por lo tanto cierto sobre cualquier ordenó campo.
Esta es la filosofía... Pero, probablemente, la declaración puede ser probado directamente, sin todo esto de la "meta" cosas..
$\bf{Added:}$ La diagonal dominante elemento criterio de que es fuerte, como se puede ver mirando a los autovalores de la matriz $(a_{ij}) = (1_{ij})$. Sin embargo, la débil condición es suficiente, por ejemplo $|a_{ij}|< \frac{1}{n-1}$ todos los $i\ne j$. Es suficiente para agregar todas las desigualdades:
$$\frac{1}{n-1}\left (x^2_{i} + x^2_{j}\right) + 2 a_{ij} x_i x_j\ge 0$$ for $i<j$, y tenga en cuenta que las desigualdades son estrictas para los no-cero de las variables.
$\bf{Added 2:}$. De hecho diagonal dominante implica positivo es bastante simple. Sólo añadir todas las desigualdades;
$$ |a_{ij}| x_{i}^2 + |a_{ij}| x_{j}^2+ 2 a_{ij} x_i x_j\ge 0$$ for all $i< j$ y obtener
$$\sum_{i=1}^n s_i x^2_i + \sum_{i<j} 2 a_{ij} x_i x_j\ge 0$$ donde
$$s_i = \sum_{j\ne i} |a_{ij}|$$
$\bf{Added 3:}$ También vamos a dar una puramente algebraica prueba de que la diagonal dominante de la matriz por filas, $a_{ii} > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|$ todos los $i$) tiene determinante $>0$.
El factor determinante no puede ser $0$. De lo contrario, el sistema de $A x = 0$ tendría un valor distinto de cero de la solución. Obtener una contradicción, teniendo en cuenta la mayor
$|x_i|$.
Deformar la matriz a una matriz con determinante positivo, mientras que la preservación de la dominación. La prueba usual utiliza el valor intermedio de la propiedad de los polinomios. Sólo vamos a utilizar esa propiedad para polinomios de grado $1$, válido para todos los pedidos de campo.
Para esto, considere la posibilidad de $t\in [0,1]$ la matriz $A_t$ que difiere de $A$ sólo en la primera fila, que es $(a_{11}, t a_{12}, \ldots, t a_{1n})$. Tenemos
$$\det A_t = (1-t) a_{11} \det A' + t \det A$$ where $\det a'$ is the determinant of the matrix $(a_{ij})_{2 \le i,j\le n}$. So we can do an induction argument. $n=1$ case is trivial. Assume true for $n-1$. Then we have $\det'>0$. Therefore, $\det A_0 >0$. We know that $\det A_t \ne 0$ for $t \in [0,1]$ ( determinant of a dominant matrix). We conclude $\det A_t >0$ for all $t \in [0,1]$, and in particular, $\det A_1 = \det a >0$.
