$5 \frac {3}{*} \times 3 \frac {*}{2}=19$?

Question

Uno de mis amigos me dio este aparentemente sencillo de problemas que no sé cómo crack. El problema es encontrar los valores de"*", donde

$$5 \frac {3}{*} \times 3 \frac {*}{2}=19\text{ ?}$$

Puedo cambiar el problema como $5 \frac {3}{x} \times 3 \frac {y}{2}=19$ y tengo que encontrar los valores de $x,y.$ $5 \frac {3}{x} \times 3 \frac {y}{2}=19 \implies \frac {5x+3}{x} \times \frac {6+y}{2}=19.$ Ahora, no sé qué camino seguir?

Puede que alguien me apunte en la dirección correcta? Gracias de antemano por tu tiempo.

EDIT: Aquí "*"-s no son las mismas. De hecho, yo sé la respuesta, pero no saben cómo conseguirlo. Aquí $x=7,y=1.$

Answer 1

Supongo que $x, y$ deben ser enteros positivos (de lo contrario hay infinitamente muchas soluciones reales para $x, y$). Si $y \geq 2$, entonces el $19=(5+\frac{3}{x})(3+\frac{y}{2})>5(3+\frac{2}{2})=20$, una contradicción. Así $y=1$, que $x=7$.

Answer 2

Simplificación, $y=\frac{8x-18}{5x+3}$

Ahora, $$8(5x+3)-5(8x-18)=114$ $

$5x+3$ Debe dividir $114$ y $x>0, 5x+3>3$

Ahora los factores de $114$ son $1,2,3,6,19,38,57,114$

Por lo tanto, puede ser el $5x+3$ $6,19,38,57,114$

$6\equiv1\pmod 5,19\equiv4, 38\equiv3,57\equiv2,114\equiv4$

Por lo tanto, puede ser el $5x+3$ $38\implies x=7,y=1$