Estoy tratando de trabajar a mi manera a través de una categoría de la teoría del libro de texto en mi propio (Awodey), y se topó con un problema preguntando acerca de los grupos en una rebanada categoría $\mathbf{Sets}/I$ para cualquier conjunto $I$. Para un grupo de existir en una categoría, Awodey dijo que se debe tener finito productos, lo cual tiene sentido, ya que tenemos productos para definir una operación binaria. Lo que me llevó a pensar acerca de lo que un producto es de $\mathbf{Sets}/I$
Pensé que el candidato obvio sería una flecha cuyo dominio es el producto en $\mathbf{Sets}$, pero que no parece funcionar de la siguiente manera.
Deje $I$ el conjunto $\{1,2\}$, luego de considerar los conjuntos $\{1\}$, $\{2\}$. Para los objetos de la rebanada de la categoría, tomar las funciones de $i,j$ que será el incrustaciones $\{1\}\rightarrow \{1,2\}$ $\{2\}\rightarrow \{1,2\}$ respectivamente. Supongamos que hay un producto de $i\times j$ que tiene como dominio el conjunto de $\{(1,2)\}$. Deje $\bar 1,\bar 2:\{(1,2)\}\rightarrow \{1,2\}$ denotar la constante de las funciones que se asignan a 1 y 2 respectivamente.
A continuación, $i\circ \bar 1:\{(1,2)\}\rightarrow \{1,2\}$ es la constante de la función que se asigna a 1, y $i\circ\bar 2$ es la constante de la función que se asigna a 2. No hay una única opción para $i\times j$, lo que la convierte en una candidata a ser un producto. (Yo también no creo que sea distinto de la unión obras, no satisface la UMP no creo.)
Entonces, ¿qué es un producto en $\mathbf{Sets}/I$, y si es algo de la función del producto en $\mathbf{Sets}$ ¿dónde está el error en mi razonamiento anterior?
