¿Cómo hacer esta sencilla prueba de intersección y Unión de conjuntos?

Question

El ejemplo de prueba anterior a la pregunta parece un poco al azar, si alguien pudiera explicar la prueba que entiendo todas las preguntas del tipo

1. (a) % que $A, B, C, D$ser arbitraria. Demostrar que $(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$

Saludos

Answer 1

$$ (x, y) \in(A\times B)\cap (C\times D) $$ $$ \iff (x, y) \in A\times B\; \mbox {y} \; (x,y) \in C\times D $$ $$ \iff (x\in A \;\mbox{and}\; y\in B) \;\mbox{and} \; (x\in C\; \mbox {y} \;y\in D) $$ $$ \iff (x\in A\; \mbox {y} \;x\in C) \;\mbox{and} \; (y\in B\; \mbox {y} \;y\in D) $$ $$ \iff x\in A\cap C \;\mbox{and}\; y\in B\cap D $$ $$ \iff (x, y) \in (A\cap C) \times (B\cap D) $$

Answer 2

Voy a señalar a las herramientas que puede usar en este caso, y en otros problemas:

Usted querrá usar las definiciones de las operaciones: el producto cruzado $P\times Q$, por ejemplo, y la intersección de conjuntos: $(P \cap Q)$, por ejemplo,

• $P\times Q = \{(p, q)\mid p \in P \text{ and}\; q \in Q\}$
• $P\cap Q = \{x\mid x \in P \text{ and}\;x \in Q\}$

Para mostrar el conjunto de la igualdad, decir $\;P = Q,\;$ "probado y verdadero" enfoque a utilizar, es mostrar que cada lado es un subconjunto de la otra. (Hay más directa enfoques, cuando sea apropiado, pero no todo el conjunto de igualdades son evidentes y/o sencillo para demostrar bi-direccional):

Así, el uso de las definiciones de la necesaria conjunto de operaciones, para mostrar que $$(A\times B) \cap (C\times D) \subseteq (A\cap C) \times (B \cap D)\tag{1}$$

y que $$(A\cap C)\times (B\cap D) \subseteq (A\times B)\cap (C\times D)\tag{2}$$

Una vez que usted haya mostrado $(1)$$(2)$, se puede concluir que los conjuntos son iguales.

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La estrategia general para mostrar que un conjunto, $P$ es un subconjunto de otro conjunto $Q$, es decir, para mostrar que $P \subseteq Q,\;$ es empezar por elegir arbitrariamente elemento del conjunto $P$, con la asunción: $x \in P,\,$ y luego argumentar su camino a la conclusión de que este supuesto implica $x \in Q$. En su caso, un elemento arbitrario en $A\times B$, por ejemplo, sería un par ordenado: Vamos a $(a, b) \in (A\times B) \cap (C\times D)$. Entonces ...

Answer 3

Mostrará que $(A\times B)\cap (C\times D)\subseteq (A\cap C)\times (B\cap D)$ primero y luego mostrar el % de inclusión de otros $\supseteq$.

$\subseteq$: Que $z=(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D)$. Significa $(x,y)\in A\times B$y $(x,y)\in C\times D$. Ahora terminarlo y concluir que $z=(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)$.

$\supseteq$: Que $z=(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)$. Es decir, $x\in A\cap C$ y $y\in B\cap D$. Ahora la conclusión.

Answer 4

El enfoque estándar de dichos problemas, funciona bien aquí: mostrar que

$$(A\times B)\cap(C\times D)\subseteq(A\cap C)\times(B\cap D)\tag{1}$$

y que

$$(A\cap C)\times(B\cap D)\subseteq(A\times B)\cap(C\times D)\;.\tag{2}$$

Cada uno de estos se puede hacer por lo que yo llamo elemento de persecución: vamos a $x$ ser un elemento arbitrario del lado izquierdo, y que pertenecen a la derecha también. Para empezar, voy a hacer $(1)$.

Deje $x\in(A\times B)\cap(C\times D)$. A continuación,$x\in A\times B$$x\in C\times D$. Desde $x\in A\times B$, debe haber un $a\in A$ $b\in B$ tal que $x=\langle a,b\rangle$. Por otro lado, el par ordenado $\langle a,b\rangle$ es también un elemento de $C\times D$, por lo que debe ser el caso de que $a\in C$$b\in D$. Ahora sabemos que $a\in A$$a\in C$, lo $a\in A\cap C$. Del mismo modo, $b\in B$$b\in D$, lo $b\in B\cap D$. Por lo tanto, el par ordenado $\langle a,b\rangle$ pertenece al producto Cartesiano $(A\cap C)\times(B\cap D)$: $x=\langle a,b\rangle\in(A\cap C)\times(B\cap D)$. Y desde $x$ fue un elemento arbitrario de $(A\times B)\cap(C\times D)$, se deduce que el $$(A\times B)\cap(C\times D)\subseteq(A\cap C)\times(B\cap D)\;.$$

Ahora a ver si se puede hacer el mismo tipo de argumento para probar $(2)$.