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Es curioso que este aparece como "precálculo", porque no estoy seguro de que una sólida respuesta puede ser dada por un valor exacto de esta relación. Si se permite algunos cálculos, entonces es fácil ver que la relación puede ser escrita como
$$ S = \frac{\sum_{n=1}^{9999}{\sqrt{1+\sqrt{n/10000}}}}{\sum_{n=1}^{9999}{\sqrt{1-\sqrt{n/10000}}}} $$ A partir de esto, podemos ver que es una muy alta resolución de aproximación a la relación de las integrales
$$ S \approx \frac{\int_0^1 \sqrt{1+\sqrt{x}}dx}{\int_0^1 \sqrt{1-\sqrt{x}}dx} = \frac{\frac{8}{15}(\sqrt{2}+1)}{\frac{8}{15}} = \sqrt{2}+1 $$ Y esta es una buena aproximación a la relación. No puedo ver un camino para conseguir una simple algebraicas valor para ella sin cálculo.
Si puedes prueba para una fracción de la forma $\frac{\sum_i a_i}{\sum_i b_i}$ que $a_i=r b_i$ todos los $i$, entonces obviamente $$\frac{\sum_i a_i}{\sum_i b_i}=r$$ Por lo tanto, en la fracción dada en el enunciado del problema, es suficiente para mostrar que $$\frac{\sqrt{100+\sqrt{5000-i}}+\sqrt{100+\sqrt{5000+i}}}{\sqrt{100-\sqrt{5000-i}}+\sqrt{100-\sqrt{5000+i}}}=\sqrt{2}+1.$$ (Sólo la suma de los términos en el numerador y el denominador de $i=1$ $4999$y dividir por $2$). Para mostrar la última ecuación establece $100=\sqrt{2x}$, por lo tanto $5000=x$. A continuación, necesita ser demostrado que $$\frac{\sqrt{\sqrt{2x}+\sqrt{x-i}}+\sqrt{\sqrt{2x}+\sqrt{x+i}}}{\sqrt{\sqrt{2x}-\sqrt{x-i}}+\sqrt{\sqrt{2x}-\sqrt{x+i}}}=\sqrt{2}+1.$$ Para la prueba de ver la respuesta a esta pregunta (gracias Boris Novikov). Por lo tanto el valor de la expresión es $\sqrt{2}+1$.
