El significado del teorema Fundamental del cálculo

Question

Actualmente estoy tomando un Cálculo avanzado de la clase en la universidad, y estamos estudiando las generalizaciones de la FTC. Acabamos de empezar en la versión para Integrales de Línea, y uno puede ver el explícito simetría entre el 1-dim versión y esta versión. Pero como el sentido técnico de este teorema se hundió en, me di cuenta de que nunca entendió realmente el significado de la FTC, volviendo a 1-dim.

Entiendo que la FTC se crea un vínculo entre los dos estudios fundamentales de cálculo, la integral y la derivada. Pero es que hay algunos motivos geométricos o tangibles sentido a este bono? ¿Qué quiere decir realmente que la integral y la derivada son "procesos inversos"? Es este en el mismo sentido como una función inversa? Parece que la derivada de las medidas de cambio instantáneo, y la integral de las medidas de área; ¿qué relación puede distinguir entre las dos ideas? Es la ecuación de la FTC puramente mecánica?

Alguna idea sobre este tema son muy apreciadas; sólo estoy tratando de entender un bonito teorema. También, si alguien puede arrojar luz sobre el significado de la FTC en el contexto más amplio de sus generalizaciones (Integral de Línea Verde del Teorema de Stokes) que sería bueno también.

Answer 1

El área bajo la curva de una función continua $y = f(x)$ entre $x$ y $x + h$ puede ser calculada mediante la búsqueda en el área entre $0$ y $x + h$, luego de restar el área entre $0$ y $x$. Por lo tanto el área de la franja sería de $a(x+h) - A(x)$.

Ahora $f(x) \cdot h$ es la aproximación lineal a la zona de la franja de gaza. Esta aproximación mejora como $h$, se vuelve más pequeño, es decir, $A(x+h) - A(x) \aprox f(x) \cdot h$. La aproximación se convierte en una igualdad de $h$ aproxima a cero en el límite.

Ahora dividir ambos lados por $h$, entonces $f(x) \aprox (a(x+h) - A(x))/h$. $H$ aproxima a cero en el límite, entonces el lado derecho se convierte en la derivada de la función de área $A(x)$.

Por lo tanto, lo que el teorema fundamental del cálculo dice es esto: "la derivada de La área bajo la curva de $f(x)$ es la curva de $f(x)$". Por tanto, la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Esta es una informal (no riguroso) de la prueba. Pero tengo la esperanza de que le da una comprensión intuitiva del teorema.

La relación inversa entre la integración y la diferenciación pueden ser elaborados más a fondo (intuitivamente) como sigue:

Lo que somos, esencialmente, cuando estamos diferenciando? Estamos tomando el cambio en $f(x)$, con un intervalo de longitud $h$ unidades, y observando cómo este cambio está distribuida en el intervalo (es decir, que estamos calculando el cambio en un intervalo de longitud de unidad). Si $f(x)$ era una función lineal, entonces sería solo hay que dividir este cambio por la longitud del intervalo. $(\Delta f(x)/h = m)$. (donde $m$ es la pendiente de $f(x)$).

Si $f(x)$ es una función no lineal, entonces $f'(x)$ = $\lim_{h\to0} \Delta f(x)/h$.

Cuando integramos una función $f(x)$ en un intervalo de longitud $h$, somos la acumulación de la función $f(x)$ en toda la longitud del intervalo. Si $f(x)$ era una función lineal, a continuación, que acaba de multiplicar el cambio en la longitud de unidad por la longitud del intervalo y agregar a el valor de $f(x)$ en el punto inicial del intervalo de $f(x)$ = $f(x_0) + \Delta f(x)$, donde

$\Delta f(x) = m \cdot h$ (donde $m$ es la pendiente de $f(x)$).

Si $f(x)$ es una función no lineal, entonces $f(h)$ = $f(x_0) + \int_{x_0}^h f'(x)dx $. (Tenga en cuenta que aquí estamos integrando (acumulación) el cambio en la unidad de longitud).

Ahora, la división (resta repetida) y multiplicación (suma repetida) son operaciones inversas, y siempre que el error entre la aproximación lineal y el área real o tasa de cambio es un infinitesimal (es decir, se puede hacer tan pequeño como queramos), entonces esta relación inversa se mantiene incluso en la no-lineal de caso.

La principal razón para la confusión, con respecto a la relación inversa entre la diferenciación y la integración, es la interpretación de la integración, como la medición de un área. Uno tiene que entender que esta área es sólo una medida. Si $f(x)$ representaba un área, y $x$ de longitud, a continuación, el 'área' por debajo de $f(x)$ en realidad iba a representar un volumen. La zona es por lo tanto una medida del volumen.

Sería mejor, a pensar de manera integral como la acumulación de una cantidad (en nuestra discusión anterior, esta cantidad es el cambio a lo largo de un intervalo de unidad de longitud). Esta definición es consistente con la interpretación de la integral como área. Vamos a considerar un rectángulo de longitud $4$ unidades y la amplitud de $3$ unidades. Si $x$ representa la longitud, entonces, $f(x)$ = $3$. Lo que estamos haciendo, cuando estamos a calcular su área? Estamos acumulando esta amplitud en un intervalo de longitud $4$ unidades. $A$ = $3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4 $ = $\int_0^4 3 dx$ = $[3x]_0^4$ = $12$ unidades cuadradas.

Ahora vamos a diferenciar esta función. Para diferenciar, tenemos que tomar en su acumulado de cambio sobre cualquier intervalo de tiempo y calcular su distribución. Pero esta función no cambia - $f(x)$ = constante = $3$. Así que no hay ningún cambio, y por lo tanto la derivada es igual a cero. $f'(x) =0$.

Es intuitivamente evidente, pues, que si en primer lugar se acumulan una cantidad a lo largo de un intervalo y, a continuación, la distribución de esta acumulación durante el mismo intervalo, entonces debemos terminar con nuestra cantidad original. Veamos ahora el rectángulo ejemplo de nuevo. Para calcular el área que nos acumulan $f(x)$, con un intervalo de longitud $4$ (donde $f(x)$ = $3$), entonces obtenemos la zona de $12$ unidades cuadradas. Ahora si que la distribución de esta área en el intervalo de $4$ unidades, entonces ¿qué obtenemos? $12/4$ = $3$ unidades ($f(x) = 3$) - que es el de la distribución de esta acumulación(área) durante el intervalo de $4$ unidades. (Derivado de $3x$ = $3$). Esta es la inversa de la relación de aspecto de la FTC.

Puede no ser visible en la conexión entre el cálculo de un área y el cálculo de una tasa de cambio. Pero hay una relación inversa entre la acumulación y la distribución.

Answer 2

"La integral de una función sobre un límite es igual a la integral de la derivada más de la región delimitada por la frontera."

En física, la derivada es a menudo visto como una especie de fuente que genera un campo, por lo que es interesante considerar el caso donde la derivada (la divergencia y curl) es cero dentro de una región. Esto significa que la integral de la función por encima de un límite es cero; por lo tanto, el campo está determinado por las condiciones de contorno, por los campos que proceden de fuera del propio volumen. Esto es intuitivo, ya que el campo no puede ser generado por cualquier cosa dentro de la región si no hay ninguna fuente dentro de la región.

El teorema fundamental es una forma de hablar sobre la general, la solución integral de la simplicidad de ecuaciones diferenciales: aquellos en los que la derivada (divergencia y curl) se especifica completamente por algunos de los que se conoce su función. Así, se da un medio concreto de mirar los problemas de valor de frontera.

En este sentido, la generalizada del teorema fundamental no habla de la relación inversa entre la integración y la diferenciación de las operaciones en funciones. Es sólo en 1d que la "integral sobre la frontera", resulta ser de $F(b) - F(a)$, por así decirlo.

El teorema fundamental y su generalización es uno de los temas más importantes en todas las matemáticas, en mi opinión.

Answer 3

¿Qué quiere decir realmente que la integral y la derivada son "procesos inversos"? Es este en el mismo sentido como una función inversa?

De hecho. Consideremos el conjunto $A$ de todas las funciones continuas en un intervalo $[a,b]$. Deje que $B\subconjunto de a$ el conjunto de funciones que tienen un continuo derivado de más de $[a,b]$, y más allá, dejar $C$ ser el subconjunto de $B$ de funciones tal que $f(a)=0$. Vamos $D:C\to $ definirse como $D(f)=f'$ (es decir, la función que se asigna a cada función a su derivada. Vamos $I:A\to C$ ser la función $$I(f)=\int_a^x f$$ Entonces el teorema fundamental del cálculo dice que $I$ y $D$ (que son bijective) son inversas de las asignaciones.

OBS requerimos que $f(a)=0$ para ser capaz de recuperar la función original. Es decir, suponga que $f'=g'$. Entonces $f=g+C$, para algunas constantes. Entonces $f(a)=g(a)+C$ da $C=0$, de modo que $f=g$, con lo que la función $D$ así se define más de $C$ es inyectiva.

Answer 4

Veo este teorema simplemente como consecuencia de una simetría. Más precisamente, este teorema tiene sentido para mí, como consecuencia de las sumas telescópicas. Vamos a una partición de $\{a=u_0<u_1<\dots<u_n=x \}$ en el intervalo $[a,x]\subconjunto de [a,b]$, y supongamos que $F(a)=C$: \begin{align} F(x)-C= & \sum_{k=1}^{n}[F(u_k)-F(u_{k-1})] & \mbox{ telescópica suma } \\ = y \sum_{k=1}^{n}F^\prime(u_k^*)[u_k-u_{k-1}] y \mbox{Valor medio Teorema} \\ = y \sum_{k=1}^{n}F^\prime(u_k^*)\Delta u_k y \mbox{suma de Riemann} \\ \aprox y \int_{a}^{x}F^\prime(u)\, du y \mbox{ aproximación } \end{align}

Answer 5

Siempre pienso en FTC cómo consigue de valor de una función a otra. Es decir, si conocemos la función valor $f(a)$, entonces llegamos a $ $f(b) sumando todos los diferenciales entre $a$ y $b$, es decir, $f(b) = f (a) + \int_a^b df = f (a) + \int_a^b \frac{df}{dx}\cdot $ dx.

Esta interpretación se transfiere bien y línea integrales (integrales a lo largo de otros dominios), mientras que la interpretación de zona no.