¿Qué sucede al convertir una serie de Taylor en integrante?

Question

Supongamos que tenemos la serie de Taylor de una función analítica:

$$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} a_k x^k$$

Entonces decido (tipo de) convertirlo en un integral:

$$g(x) = \int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(k+1)} a(k) x^k \, dk$$

Claramente, $f(x) \neq g(x)$. Pero los valores de que las dos funciones producen algo cerca unas de otras. ¿Cuál es la relación entre los dos?

Answer 1

Estoy asumiendo que usted defina $a(k)=a_{[k]}$ donde $[k]$ es la función del suelo. Usted podría asimismo definir con un techo de la función y la respuesta debería ser la misma. La primera de revisión de la declaración y la prueba de la integral de la prueba.

La función gamma es estrictamente creciente en a $k$, y supongamos $a_kx^k/k!$ está disminuyendo (tiene que ir a cero independientemente), por lo que en este caso obtenemos algo como:

$$f(x)-a_0=\sum_{k\geq 1}\frac{a_k}{k!}x^k\leq \int_0^\infty \frac{a(k)}{\Gamma(k+1)}x^kdk \leq \sum_{k\geq 0} \frac{a_k}{k!}x^k=f(x).$$

Tenga en cuenta que si los términos no son monótonamente decreciente, a continuación, obtendrá considerablemente más desviación.

Tenga cuidado con la $a_0$ plazo. Si $a_0=0$ por ejemplo, y luego por nuestra monotonía supuesto, esto significaría que todos los otros términos son cero. Así que si desea corregir esto, se necesitará compensar la suma para hacer la integral/suma de la comparación.

Answer 2

Creo que se puede utilizar fórmula de sumación de Abel para conseguir la igualdad entre las dos funciones nos permite transformar una serie integral.