Teorema de la extensión de Tietze

Question

He visto Teorema de la extensión de Tietze . Desde su prueba no es trivial, he intentado si podemos aclararlo intuitivamente para funciones de una variable real. Así, en este caso especial, intento demostrar que si $f\colon K\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, con $K$ conjunto cerrado en $\mathbb{R}$ entonces $f$ puede extenderse a una función continua de $\mathbb{R}$ .

Para demostrarlo, he procedido de la siguiente manera: $K^c$ es abierto, por lo que es la unión disjunta de intervalos abiertos. Intentamos extender $f$ continuamente en cada componente conectado, digamos $(a,b)$ de $K^c$ . Desde $a,b$ son elementos de $K$ definimos $f$ en $(a,b)$ de tal manera que su gráfico en $(a,b)$ es la línea con puntos finales $(a,f(a))$ y $(b,f(b)$ . De esta manera, $f$ puede definirse en el complemento de $K$ y me parece obvio que $f$ es continua en $\mathbb{R}$ .

¿Estoy en lo cierto con esta prueba en un caso variable?

Answer 1

Para los espacios métricos se puede hacer también otra aproximación (la suya es muy específica para los reales), siguiendo el ejercicio 4.1F de Engelking, pero el resultado se debe a Hausdorff.

Dejemos que $(X,d)$ sea métrica y supongamos que $A$ está cerrado en $X$ y $f: A \rightarrow [0,1]$ es continua. Entonces definamos

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \in A \\ \inf{\left\{f(a) + \frac{d(x,a)}{d(x,A)} - 1\,:\,a \in A\right\}} & \text{if } x \in X \smallsetminus A\end{cases}$$

y demostrar que $F$ es continua.

(Para las funciones no limitadas, utilice la función $\arctan(f)$ para hacerla acotada primero).