Propiedades de funciones aritméticas

Question

Recientemente estuve trabajando en funciones aritméticas y el uso de la Escalinata de la fórmula para obtener estimaciones asintóticas. Una observación que he hecho ha sido que la de Dirichlet de la serie a menudo puede ser escrito en términos de la de Riemann zeta función.

Más formalmente, vamos a $f(n)$ ser una función aritmética y $F(s)=\sum^\infty_0 f(n)n^{-s}$ ser su Dirichlet de la serie. Es cierto que $F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}$ donde $A(s)$ o $B(s)$ son algunos de los factores de $\zeta(s)$, o incluso, posiblemente, $\zeta'(s)$ (la primera derivada) como en el caso de los von Mangoldt función?

Parece que esta propiedad no es esencial para el resto de los análisis como yo estaba más preocupado por donde los polos, pero parecía como una propiedad innata como resultado de Euler representación de los productos.

También una pregunta que he tenido que lidiar fue con el manejo de una singularidad esencial. Como yo no tenía que trabajar en los detalles para cualquier ejemplo concreto, me quedé pensando sobre el impacto de esta en lugar de tener un polo de algunos finito de orden. Hacemos ajuste la línea de integraciones para evitar la singularidad esencial o somos todavía capaces de llevar a cabo el análisis con ningún problema en absoluto.

Información proporcionada será de gran ayuda. Gracias!

Answer 1

La función de $F(s)$ tendrá la representación de los productos de Euler $$F(s)=\prod_{p}\left(1+f(p)p^{-s}+f(p^{2})p^{-2s}+\cdots\right).$$ In general, you will not be able to write $F(s)$ in terms of the zeta function, however often times we will pull out large zeta factors so that the left over series converges on a larger domain. This is achieved by writing $F(s)=H(s)\zeta(s)^{l}$ where $H(s)$ converges on a larger range, and we may use this the evaluate the average $\sum_{n\leq x}f(n)$. For example, suppose that $f(n)$ is fairly close to $1$ on the primes, such as the functions $\frac{\phi(n)}{n},$ $\frac{n}{\sigma(n)}$, $\frac{\sigma(n)}{n}$, etc. To quantify this closeness to $1$ , we define $h(n)=\left(\mu*f\right)(n)$, and require that $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|h(n)|}{n^{\alpha}}$ converges for some $\alpha<1$. In other words, if $H(s)=\sum_{n=1}^{\infty}h(n)n^{-s}$, then $F(s)=H(s)\zeta(s)$, and while $F(s)$ only converges absolutely for $\sigma>1$, the function $H(s)$ will converge absolutely for $\sigma>\alpha$. We may then show that $$\sum_{n\leq x}f(n)=H(1)x+O\left(x^{\alpha}\right)$$ by entirely elementary methods. Indeed, $$\sum_{n\leq x}f(n)=\sum_{n\leq x}\sum_{d|n}h(d)=\sum_{d\leq x}h(d)\left[\frac{x}{d}\right]$$

$$=x\sum_{d\leq x}\frac{h(d)}{d}+O\left(\sum_{d\leq x}h(d)\right)=x\sum_{d=1}^\infty\frac{h(d)}{d}+O\left(x^\alpha\right)$$ como

$$\sum_{d\leq x}h(d)+x\sum_{d>x}\frac{h(d)}{d}\leq \sum_{d\leq x}|h(d)| \frac{x^\alpha}{d^\alpha}+x\sum_{d>x}\frac{|h(d)|}{d^\alpha}\frac{1}{x^{1-\alpha}}=O\left(x^\alpha \sum_{d=1}^\infty \frac{|h(d)|}{d^\alpha}\right)=O\left(x^{\alpha}\right).$$

Este enfoque puede ser igualmente aplicado cuando se toma a los poderes superiores de $\zeta(s)$. La izquierda sobre la función no va a ser necesariamente de la forma $\zeta(s+1)$, como es de $\phi(n)/n$, y así la llegada constante de Euler producto $H(1)$ no necesariamente ser expresable en términos de conocer constantes.