¿Son estos subconjuntos de $\mathbb{R}$ homeomorfa?

Question

Considere los siguientes subespacios de $\mathbb{R}$ con la topología usual: $$X = (0, 1) \cup \{2\} \cup (3, 4) \cup \{5\} \cup \cdots \cup (3n, 3n + 1) \cup \{3n + 2\} \cup\cdots$$ $$Y = (0, 1] \cup (3, 4) \cup \{5\} \cup\cdots\cup (3n, 3n + 1) \cup \{3n + 2\} \cup\cdots$$ Es $X$ homeomórficos a $Y$ ?

Para $X$ a ser homeomórficos a $Y$, se debe especificar un bijective función de$X$$Y$, y la función inversa de $Y$ $X$son continuas. De $(3,4)$ en adelante, podemos trazar un mapa de la propia identidad de la función. ¿Cómo puedo asignar $(0,1) \cup \{2\}$ a $Y$? $(0,1]$, en la topología usual no es abierto y cerrado. Puedo escribir $(0,1]$$(0,1)\cup\{1\}$, y luego el mapa de $\{0,1\}$ por mapa de identidad y $\{1\}$$\{2\}$. Por favor, perdóname si alguna de lo que yo creo que es estúpido.

Answer 1

Sugerencia: Si $f:A\to B$ es un mapa continuo entre espacios topológicos y $R$ es un componente conectado de $A$, entonces hay un componente conectado $S$ $B$ tal que $f(R)\subseteq S$.

¿Qué implica esto acerca de cómo homeomorphisms asigna los componentes conectados de espacios?

¿Ves cómo aplicar esto a tu situación?

Answer 2

Sugerencias:

1. Si $f:X\to Y$ es un homeomorphism, a continuación, desconectado de singleton de $X$ mapa desconectado singleton $Y$. La razón es que son puntos aislados (abierto subconjuntos) en $X$, por lo que sus imágenes también son puntos aislados en $Y$.

2. Si $f:X\to Y$ es un homeomorphism, a continuación, la imagen de un conjunto conectado está conectado. Por lo tanto, cualquier intervalo en $X$ se debe asignar a un intervalo en $Y$.

3. Concluir con 1. Y 2. que si $f:X\to Y$ es un homeomorphism, luego de un intervalo de la forma $(3n,3n+1)$ es homeomórficos a $(0,1]$ algunos $n\in\mathbb{N}$. Tomar la co-restricción de este homeomorphism para el conjunto de $(0,1)$, y tratar de concluir una contradicción con una conexión argumento.