¿Por qué no aquí el enfoque de la función generadora exponencial?

Question

Pregunta: Vamos a $a_{n}$ contar el número de maneras diferentes para construir una torre de $n$ unidades de alto uso de red 1-unidad de bloques, rojo 2-bloques de unidades, azul 1-unidad de bloques, y el azul de 3 bloques de unidades. Encontrar$a_{n}$$n \geq 1$.

Así que he encontrado una relación de recurrencia para este, es decir,$a_{n} = 2a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$.

Pero también he modelado esta usando exponencial en la generación de funciones dadas por $g(x) = \left( 1 + x + \frac{x^{2}}{2!}+ \dots \right)^{2}(1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots)(1 + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{6}}{6!} + \dots )$

Cuando me calcular el coeficiente de $\frac{x^3}{3!}$, están de acuerdo con las dadas por mi de la recurrencia de la relación, hasta el $a_{3}$, donde se da $a_{3} = 15$ (a pesar de que debería ser 13). ¿Hay alguna razón por la que mi generación de función no el modelo de la anterior relación?

Answer 1

Cuando tienes dos exponenciales generando funciones $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty an \frac{x^n}{n!}$ y $\displaystyle g(x) = \sum{n=0}^\infty bn\frac{x^n}{n!}$, su producto $\displaystyle f(x)g(x) = \sum{n=0}^\infty c_n\frac{x^n}{n!}$ tiene $\displaystyle cn = \sum{k=0}^n \binom{n}{k}akb{n-k}$.

El problema es que cada bloque de dos unidades es solo eso: un bloque de dos unidades. Si quiero una torre de $n$-unidad-alto que contiene bloques de dos unidades de $k$ y $n-2k$ bloques de una unidad (no hay colores en el momento), hay sólo $n-k$ total bloques y así $\displaystyle \binom{n-k}{k}$ formas de arreglarlos, no maneras de #% de #% % como se calcula en el producto de funciones generadoras.