En la estructura de subrings del $R/I$

Question

Yo estaba pensando en el siguiente problema: Supongamos $I$ a ser un ideal de a $R$ (conmutativa y contiene $1$). Ahora considere la posibilidad de un sub-anillo $S < R/I$. Podemos decir que el sub-anillo $S$ es de la forma $S'/I$ donde $S'$ es un sub-anillo de $R$? Puede alguien agregar otras condiciones para hacer de esta verdad?

Intuitivamente creo que la respuesta a la primera pregunta es negativa, porque sería hacer un teorema acerca de la correspondencia de los ideales de la $R$ $R/I$ redundante. Así que con el fin de encontrar un contraejemplo, debemos encontrar la $S$ que no es un ideal en $R/I$. Pero no se me ocurre ninguna ahora mismo. La segunda pregunta parece más complicado, pero no sé cómo pensar acerca de eso.

Answer 1

Veamos esto un poco más abstracta. Le da un par de monoids $M, N$ y un homomorphism $f:M\to N$, observamos que para cualquier submonoid $N'\subseteq N$, $M'=f^{-1}(N')$ es un submonoid de $M$. Para, si $a,b\in M'$, $f(ab)=f(a)f(b)\in N'$ implica $ab\in M'$, e $f(1_M)=1_N\in N'$$1_M\in M'$.

Hay tres cosas que observar. En primer lugar, un anillo es un monoid con respecto a cada una de sus operaciones. En segundo lugar, el anillo de homomorphisms son monoid homomorphisms al considerar cualquiera de las operaciones. En tercer lugar, un subconjunto de un anillo de $R$ que es un submonoid de ambos $(R,+)$ $(R,\cdot)$ es un sub-anillo de $R$ (y a la inversa).

Por lo tanto, dado un homomorphism $f:R\to S$ de los anillos y un sub-anillo $S'\subseteq S$, la $R'=f^{-1}(S')$ es un submonoid de $(R,+)$ y un submonoid de $(R,\cdot)$. Llegamos a la conclusión de que $R'$ es un sub-anillo de $R$.

Por supuesto, esto no es una respuesta completa a su pregunta, ya que usted todavía necesita para comprobar que $f(R')=S'$ al $f$ es surjective, simplemente no se sostiene cuando se $f$ no es surjective.

Answer 2

$R/I$ es la imagen de la canónica surjection $R\to R/I$, así que básicamente que su pregunta se traduce como

¿Con un ciento de homomorfismo del anillo de sobreyectiva $f:A\to B$y un subanillo $S

$\,$

Y la respuesta es sí: $S':=f^{-1}(S)$.