Las matrices diagonalizables con valores complejos son densas en el conjunto de matrices complejas de $n\times n$.

Question

Mi profesor de álgebra lineal demostró que

Las matrices diagonalizables con valores complejos son densas en el conjunto de matrices complejas de $n \times n$.

Él definió una métrica (creo) que estaba de alguna manera relacionada con la métrica habitual en $\mathbb{R}^{n^2}$.

Luego de alguna manera probó que las matrices diagonalizables eran densas porque para cualquier matriz $A$ si $\det(A - \lambda I) = 0$ en un subconjunto abierto, entonces $\det(A - \lambda I)$ era el polinomio cero.

Busqué un poco en Google y encontré algunas cosas que hablaban sobre la topología de Zariski, y no estoy seguro de que sea lo que busco. La mayoría de lo que he encontrado sobre esta topología es mucho más general de lo que él estaba haciendo.

¿Alguien conoce algún recurso que explique cómo demostrar esta afirmación?

Editar: Descubrí cómo demostrar esto como lo hizo mi profesor.

Definimos la norma de una matriz por $$ |A| = \max\{|Ax| : |x| = 1 \}.$$ Ahora tenemos una distancia $d(A, B) < \epsilon$. Puedes probar que si $(A - B)_{ij} < \epsilon/n$, entonces $|A - B| < \epsilon$.

Sea $p(x)$ el polinomio característico de $A$, una matriz $n \times n$. $$p(x) = \prod_1^n (x - x_i) = x^n + (-1)\sigma_1 x^{n - 1} + \cdots + (-1)^n\sigma_n$$ donde $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ son los polinomios simétricos elementales de $x_1, \ldots, x_n$ que son los valores propios.

El discriminante del polinomio característico es un polinomio simétrico, por lo tanto puede escribirse en términos de los polinomios simétricos elementales, que a su vez pueden escribirse en términos de las entradas de la matriz.

Pero dado que el discriminante es un polinomio, solo tiene finitas raíces. Por lo tanto, para $\epsilon > 0$, cambiando las entradas de la matriz en menos de $\epsilon / n$ podemos encontrar una nueva matriz $B$ tal que $|B - A| < \epsilon$ y el discriminante no es cero.

El hecho de que el discriminante no sea cero significa que $B$ tiene valores propios distintos, por lo tanto tiene una base de eigenvectores. Por lo tanto, es diagonalizable.

Por lo tanto, el conjunto de matrices diagonalizables es denso en el conjunto de matrices con respecto a esa métrica.

Answer 1

No puedo seguir realmente el razonamiento que estás insinuando en tu pregunta, pero aquí está mi opinión:

Para hablar de densidad necesitas una topología. Dado que $M_n(\mathbb{C})$, el espacio de matrices complejas $n\times n$ es de dimensión finita (lo que implica que hay una única topología convexa local), una noción muy natural de convergencia es por entradas; por lo que podemos considerar la métrica $$ d(A,B)=\max\{ |A_{kj}-B_{kj}|\ : k,j=1,\ldots,n\}, \ \ \ A,B\in M_n(\mathbb{C}). $$ No es difícil comprobar que para cualquier matriz $C$, $$ d(CA,CB)\leq d(A,B)\,\sum_{k,j=1}^n |C_{kj}|, $$ y la misma desigualdad se cumple para la multiplicación a la derecha (esto se utilizará en la última desigualdad a continuación).

Ahora toma cualquier $A\in M_n(\mathbb{C})$. Sea $J$ su forma canónica de Jordan; entonces existe una matriz no singular $S$ tal que $J=SAS^{-1}$. Fija $\varepsilon>0$. Sea $$ m=\left(\sum_{k,j=1}^n |S_{kj}|\right)\,\left(\sum_{k,j=1}^n |(S^{-1})_{kj}|\right) $$

Ahora, la matriz $J$ es triangular superior, por lo que sus eigenvalores (que son los de $A$) son las entradas diagonales. Sea $J'$ la matriz obtenida a partir de $J$ al alterar las entradas diagonales de $J$ en menos de $\varepsilon/m$ de tal manera que todas las entradas diagonales de $J'$ sean distintas.

Pero ahora $J'$ es diagonalizable, ya que tiene $n$ eigenvalores distintos. Y $d(J,J')<\varepsilon/m$. Entonces $S^{-1}J'S$ es diagonalizable y $$ d(S^{-1}J'S,A)=d(S^{-1}J'S,S^{-1}JS)\leq m\,d(J',J)<\varepsilon. $$

Answer 2

Sea $X$ el conjunto de matrices diagonalizables en $M_n(\mathbb C)$, y $Y$ el conjunto de aquellas matrices en $M_n(\mathbb C)$ que tienen $n$ eigenvalores distintos.

Dado que $Y\subset X\subset M_n(\mathbb C)$, basta con mostrar que $Y$ es denso en $M_n(\mathbb C)$.

Prueba 1. Sea $A$ en $M_n(\mathbb C)$, y sea $U$ un vecindario de $A$ en $M_n(\mathbb C)$. Basta con verificar que $U$ interseca a $Y.

Dado que $A$ es similar a una matriz triangular, podemos asumir que $A$ es triangular.

Siendo las entradas diagonales de una matriz triangular sus eigenvalores, existe una matriz diagonal $D$ tal que $A+D$ está en $U\cap Y$. QED

Prueba 2. Si conoces la noción de discriminante de un polinomio univariante, puedes argumentar de la siguiente manera.

Dado que el discriminante $d(A)$ del polinomio característico de $A$ es un polinomio no nulo, con coeficientes complejos (de hecho enteros), en las entradas de $A$, el conjunto $$ Y=M_n(\mathbb C)\setminus d^{-1}(0) $$ es denso en $M_n(\mathbb C)$. QED

Answer 3

Me gustaría agregar un boceto de otro enfoque a este problema que encontré conceptualmente simple, aunque requiere prestar atención a los detalles. Dada una matriz $A$, ciertamente basta con demostrar que podemos encontrar una matriz $B$ cuyo polinomio característico es separable, es decir, tiene raíces distintas, y que está cerca de $A$. Dado que tener raíces múltiples se debe considerar como un fenómeno "inestable", debería ser el caso de que una matriz "genérica" tenga un polinomio característico con raíces distintas, y deberíamos poder lograr tal matriz perturbando ligeramente las entradas de $A$.

Ahora, una matriz "arbitraria" de tamaño $N\times N$ $A$ tiene una fórmula complicada para su polinomio característico en términos del determinante de $zI-A$ que implica algo así como $N!$ términos, y no me quedó claro cómo las "perturbaciones" de las entradas, y de cuáles entradas, garantizarían que teníamos una matriz con polinomio característico separable, así que sería útil si supiéramos que $A$ tenía un representante de "baja complejidad" cuyo polinomio característico se pudiera leer más fácilmente. Afortunadamente, sobre $\mathbf C$, tenemos la forma canónica de Jordan a mano, lo que sugiere el siguiente enfoque:

• Mostrar cómo perturbar las entradas diagonales de un bloque de Jordan $J_\lambda$ por una matriz $\Delta$ para obtener $J_\lambda+\Delta$ con un polinomio característico separable y tal que $\|J_\lambda-(J_\lambda+\Delta)\| = \|\Delta\|$ sea pequeño.
• Escribir $A = J_{\lambda_1}\oplus \dotsb\oplus J_{\lambda_n}$ como una matriz diagonal por bloques y elegir las matrices de perturbación correspondientes $\Delta_i$.
• Observar que $\|A-\bigoplus_i(J_{\lambda_i}+\Delta_i)\|\leqslant \sum_i\|\Delta_i\|$ se puede hacer arbitrariamente pequeño si $\|\Delta_i\|\ll 1$ para cada $i$.
• Tener cuidado para asegurar que para $i\ne j$, los polinomios característicos de $J_{\lambda_i}+\Delta_i$ y $J_{\lambda_j} + \Delta_j$ no tengan raíces en común.
• ¡Y diviértanse!