Representación única de un vector.

Question

En un libro que estoy leyendo, el autor afirma sin pruebas que en un$n$ - espacio vectorial dimensional$X$, la representación de cualquier$x$ como una combinación lineal de una base dada$e_{1},e_{2},...,e_{n}$ es único. ¿Cómo probar eso?

Answer 1

Una base generalmente se define como un conjunto generador linealmente independiente.

Como es un conjunto generador, por definición, cada vector puede expresarse como una combinación lineal.

Supongamos que algún vector tiene dos representaciones:

$$x=a_1 e_1 +\dots + a_ne_n= b_1 e_1 + \dots + b_n e_n.$ $ Luego se sigue que$$0= (a_1 -b_1)e_1 + \dots + (a_n-b_n)e_n.$ $ Por la definición de independencia lineal se sigue que$(a_1 -b_1) = \dots = (a_n-b_n)= 0$, lo que significa$a_i = b_i $ para todos$i$, es decir, La representación es única.

Answer 2

Si$\sum_{k=1}^nc_ke_k=\sum_{k=1}^nc_k'e_k,$ con los$c_k$ y$c_k'$ escalares, entonces$\sum_{k=1}^n(c_k-c_k')e_k=0$ así que ... (para continuar, use el hecho de que$e_k$ son linealmente independientes)