Suma de ángulos diedros en el tetraedro

Question

Me gustaría preguntar si alguien puede ayudarme con este problema. Tengo que determinar cuál es el límite inferior y superior de la suma (la mayor y menor suma que puedo obtener) de los ángulos diedros en un tetraedro arbitrario y demostrarlo. Me parece bien que me den una pista para demostrarlo, pero agradecería que me dieran el límite inferior y superior y la razón para ello.

Gracias

Answer 1

Lema : La suma de los 4 ángulos sólidos internos de un tetraedro está limitada arriba por $2\pi$ .

Comienza con un tetraedro no degenerado $\langle p_1p_2p_3p_4 \rangle$ . Sea $p = p_i$ sea uno de sus vértices y $\vec{n} \in S^2$ sea cualquier vector unitario. Además de un conjunto de medida cero al elegir $\vec{n}$ la proyección de $p_j, j = 1\ldots4$ en un plano ortogonal a $\vec{n}$ están en posiciones generales (es decir, no hay 3 puntos colineales). Cuando las imágenes de los vértices están en posiciones generales, una condición necesaria para $\vec{n}$ o $-\vec{n}$ pertenecen al ángulo sólido interior en $p$ es $p$ se encuentra en el interior del triángulo formado por las imágenes de los otros 3 vértices. Así que, aparte de un conjunto de excepción de medida cero, los vectores unitarios en los 4 ángulos sólidos interiores son "disjuntos". Cuando uno ve el tetraedro $\langle p_1p_2p_3p_4 \rangle$ como el casco convexo de sus vértices, los vértices son puntos extremos. Esto implica, a su vez, para cualquier vector unitario $\vec{n}$ y $-\vec{n}$ no puede pertenecer al ángulo sólido interior de $p$ al mismo tiempo.

De esto podemos concluir (hasta un conjunto de excepción de medida cero), que a lo sumo la mitad de los vectores unitarios pertenecen a los 4 ángulos sólidos interiores de un tetraedro. La casi disyunción de los ángulos sólidos interiores obliga entonces a que su suma sea como máximo $2\pi$ .

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Dejemos que $\Omega_p$ sea el ángulo sólido interno y $\phi_{p,i}, i = 1\ldots 3$ sean los tres ángulos diedros en el vértice $p$ . La wiki página mencionado por @joriki nos dice:

$$\Omega_p = \sum_{i=1}^3 \phi_{p,i} - \pi$$

Observe cada $\Omega_p \ge 0$ y hemos demostrado $\sum_{p}\Omega_{p} \le 2\pi$ . Lo conseguimos:

$$\begin{align} & 0 \le \sum_p \sum_{i=1}^3 \phi_{p,i} - 4\pi \le 2\pi\\ \implies & 2\pi \le \frac12 \sum_p \sum_{i=1}^3 \phi_{p,i} \le 3\pi \end{align}$$

Cuando sumamos los ángulos diedros sobre $p$ y $i$ Cada ángulo diedro se cuenta dos veces. Esto significa que la expresión $\frac12 \sum_p \sum_{i=1}^3 \phi_{p,i}$ lo anterior no es nada sino la suma de los 6 ángulos diedros de un tetraedro.