La continuidad de las funciones lineales con respecto a la convergencia uniforme de las funciones enteras en las bolas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $H_b (X)$ sea el álgebra de las funciones enteras de valor complejo sobre $X$ que están acotados en conjuntos acotados, con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados.

Dejemos que $\varphi \in H_b^* (X)$ (que es el espacio dual de $H_b (X)$ ).

Cada $\varphi \in H_b^* (X)$ es continua con respecto a la norma de convergencia uniforme en alguna bola en $X$ .

Definir el función de radio $R$ en $H_b^* (X)$ declarando $R(\varphi)$ sea el mínimo de todos los $r >0$ tal que $\varphi$ es continua con respecto a la norma de convergencia uniforme en la bola $r B$ .

No entiendo la afirmación anterior. Estoy un poco confundido porque creo que $\varphi \in H_b^* (X)$ es continua en cada bola en $X$ (así, el radio de $\varphi$ es siempre $0$ ).

Quiero saber qué me he perdido.

Answer 1

Por ejemplo, considere $X=\mathbb{C}$ . El mapa $\varphi(f) = f(1)$ es una función lineal continua sobre $H_b(\mathbb{C})$ .

Considere la secuencia $f_n(z)=z^n$ de elementos de $H_b(\mathbb{C})$ . En el disco $\frac12B = \{z:|z|<1/2\}$ esta secuencia converge uniformemente a $0$ . Sin embargo, $\varphi(f_n)=1$ no converge a $0$ . Así que, $\varphi$ no es continua con respecto a la convergencia uniforme en $\frac12B$ .

Basándose en lo anterior, se puede ver que $R(\varphi)=1$ La convergencia uniforme en el disco unitario es suficiente para la convergencia de los valores de $\varphi$ mientras que la convergencia uniforme en discos más pequeños no lo es.