Determinante de la matriz $D_n(2,3,1)$

Question

La matriz $D_n(2,3,1)$ es para ser escrito en la forma

$$\pmatrix{3 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 &... &0\\ : & : & : & : & ... & : \\0 & 0 & 0 & 0 &... & 3}$$

Necesito entrenamiento el determinante de esta matriz $( d_n = \det(D_n))$. Así que me dije a expandir por fila $1$. Busca el elemento en $a_{11}$, puedo cancelar la fila y la columna a cabo y obtener el determinante de la que poco se $3d_{n-1}$. Ahora, gracias a la ampliación con el elemento $a_{12}$, puedo obtener el determinante de la que poco se $-2d_{n-1}$, por lo que puedo conseguir

$$d_n = 3d_{n-1} - 2d_{n-2}$$

El charateristic ecuación de esto me da $x^2 - 3x +2 = 0 = (x - 2)(x - 1)$ y por lo tanto, obtener las raíces a ser $x_{1,2} = 1,2$. Como tenemos dos raíces, (aquí es donde mi teoría ha ido un poco raro), llegamos a la que puede escribirse en la forma $d_n = C_1x_1^n + C_2 x_2^n$. He resuelto esto y tengo que $C_1 = 2$$C_2 = -1$, pero no estoy seguro de cómo completar la pregunta.

¿Esto sólo significa que el factor determinante es $2(1)^n - 2^n = 2 - 2^n$?

Answer 1

Todo parece correcto.

Verificación de $n=1,2$, sospecho que cuando se calcularon el $C_1$ y $C2$, la orden de $x{1,2}$ se mezcló: $x_1=2,\ x_2=1$ y $$2\cdot 2^n-1$ $ parece aceptar pequeños $n$'s.