Dejemos que $A_{n\times n}$ sea una matriz real. ¿Es cierto que $I+A^TA$ ¿es invertible?

Question

Dejemos que $A_{n\times n}$ sea una matriz real. ¿Es cierto que $I+A^TA$ es siempre invertible?

Answer 1

Dejemos que $M = I+A^tA$ . Toma $v$ en el núcleo de $M$ . Ahora,

$$ 0 = [I+A^tA]v, $$

y así obtenemos $A^tAv = -v$ . Derecha multiplicando por $v^t$ una vez más, tenemos $v^tA^tAv = -v^tv$ y así $$ 0 \leq \|Av\|^2 = (Av)^t(Av) = v^tA^tAv = -v^tv = -\|v\|^2 \leq 0 $$

lo que demuestra que $v = 0$ . Así, $M$ es inyectiva y como es cuadrada, es invertible.

Answer 2

Si $I+A^TA$ no es invertible, entonces existe un vector no nulo $v$ tal que:

$$(I+A^TA)v = 0.$$

Esto significa que:

$$(I+A^TA)v = 0 \Rightarrow v + A^TAv = 0 \Rightarrow A^TAv = -v.$$

En otras palabras, $v$ es un vector propio de $A^TA$ con valor propio $\lambda = -1$ .

Desde $A^TA$ es por definición semidefinida positiva, entonces no hay ningún valor propio negativo. Es decir, es imposible que $I+A^TA$ no es invertible.

Answer 3

Si $I + A^TA$ sólo tiene valores propios positivos, entonces $I + A^TA$ es invertible.

Sólo tenemos que demostrar que $A^TA$ sólo tiene valores propios no negativos, que es lo mismo que decir que $A^TA$ es semidefinido positivo. $A^TA$ es de este tipo si

$$x^TA^TAx \geq 0\ \forall x$$

nota que $Ax$ es un vector y $x^TA^TAx = (Ax)^TAx = (Ax, Ax) = ||Ax||^2\geq 0$

por lo que $A^TA$ es semidefinido positivo. Ahora supongamos $\lambda$ es un valor propio de $A^TA$ y $A^TAv = \lambda v$ para algunos $v$ entonces

$$(I + A^TA)v = Iv + A^TAv = v + \lambda v = (1 + \lambda)v$$

por lo que los valores propios de $I + A^TA$ son los mismos que los de $A^TA$ pero desplazado una unidad. Por lo tanto, sólo si $A^TA$ tenía $-1$ como valor propio la matriz $I +A^TA$ no sería invertible. Pero $-1$ no puede sea un valor propio de $A^TA$ por lo que hemos demostrado que $I + A^TA$ es invertible.

Answer 4

Sí, porque $A^TA$ es simétrico positivo semidefinido y por lo tanto $I+A^TA$ no puede tener $0$ como un valor propio.

Answer 5

Sí, en efecto, $A^TA$ es una matriz simétrica, y es positiva, por lo que $I + A^T A$ es estrictamente positivo, y en particular es invertible.