Combinatoria - El problema de los estudiantes y los grados

Question

Supongamos que hay $20$ estudiantes en un aula, $10$ hombres y 10 mujeres. De cuántas maneras puede un maestro distribuir exactamente $5$ As, $6$ B, $5$ C, $2$ Ds, y $2$ Fs para los estudiantes?

Mi Lógica: $(20 C 5)(15 C 6)(9 C 5)(4 C 2)(2 C 2)$ parece como la más fácil de responder, pero luego esta respuesta ignora el número de machos y hembras en la clase. Más bien, si tratamos de toda la clase como nuestra muestra, a continuación, evitamos cualquier extra de casos. Me puede faltar algo aquí, sin embargo, así que siéntase libre para que me ilumine.

Answer 1

Tu resultado se ve bien.

Otra forma de obtener el mismo resultado es la siguiente:

• Cualquier arreglo de los estudiantes $20$ puede interpretarse como una posible asignación de calificaciones: $20!$
• Ahora, cancele las permutaciones entre cada grupo de estudiantes que obtienen la misma calificación: $5!\cdot 6!\cdot 5!\cdot 2!\cdot 2!$

Todos juntos: $$\frac{20!}{5!\cdot 6!\cdot 5!\cdot 2!\cdot 2!}$ $