En $\triangle ABC$, la altitud de $B$ es congruente con la mediana de $C$. ¿Si $B$ y $C$ son fijos, lo que es el lugar geométrico de $A$?

Question

En el $xy$ plano, considere la posibilidad de una variable de ángulo agudo del triángulo $\triangle ABC$, $B$ e $C$ fijo y el vértice $A$ variable. Deje $E$ ser el pie de la perpendicular de $B$ a $\overleftrightarrow{AC}$, y deje $F$ ser el punto medio de la $\overline{AB}$. Si $|BE|=|CF|$, y luego encontrar el lugar geométrico de los vértices $A$.

Recibí la respuesta de que el locus será un círculo mediante el uso de la geometría analítica. Pero podemos resolver el problema mediante el uso de la geometría plana?

He intentado por la caída de una perpendicular desde $F$ para el lado de la $\overline{AC}$. Si el pie de la perpendicular es $G$ a continuación se obtienen $\angle FCA = 30^\circ$. Pero estoy atascado después de esto.

La pregunta fue dada por un amigo mío.

Answer 1

Primer aviso de que:

$$FG=\frac12 BE=\frac12 CF\implies \angle FCA=30^\circ$$

Dibujar segmentos de $BI$ e $AJ$ perpendicular a la mediana de la $CF$. Triángulos $\triangle BFI$ e $\triangle AFJ$ son congruentes por la ASA (todos los ángulos son iguales y $BF=BA$. En consecuencia:

$$BI=AJ=\frac b2$$

Elija ahora el punto de $H$ , de modo que $AH=HC=\frac{b}{2}$ y punto de $D$ tal que $\angle BCD=120^\circ$ e $CD=BC=a$. Tenga en cuenta que la posición de punto de $D$ no dependen de la posición del punto de $A$. Permanece fijo a pesar del hecho de que el punto de $A$ se mueve.

Echa un vistazo a los triángulos $\triangle IBC$ e $\triangle HCD$:

$$IB=HC=\frac b2,\space BC=CD,\space \angle IBC=\angle HCD$$

Así que por SAS triángulos $\triangle IBC$ e $\triangle HCD$ son congruentes, lo que significa que $\angle CHD=\angle BIC=90^\circ$. Debido a $H$ es el punto medio de la $AC$ esto significa que por SAS triángulos $\triangle CHD$ e $\triangle AHD$ son congruentes.

De ello se desprende que $AD=CD=a$. Así que el punto de $A$ debe estar a una distancia fija $a$ desde el punto fijo $D$. Por lo que se encuentra en un cricle con centro D y radio de $a$.

Por CIERTO, excelente el problema.