¿Un ramillete de círculos es siempre un complejo CW?

Question

Dejemos que $X$ sea un complejo de células con una $0$ -y un número arbitrario (posiblemente infinito de cualquier grado) de $1$ -células que son auto-bucles a la única $0$ -célula. Claramente $X$ es de cierre finito (propiedad C en CW). ¿Es la topología de $X$ necesariamente coherente con el conjunto de celdas cerradas de $X$ (propiedad W en CW)? Es decir, ¿es $X$ ¿un complejo de CW?

Nota: Si $X$ es primero contable, entonces puedo mostrar que ser localmente finito es equivalente a la propiedad W. Este resultado puede ser usado para mostrar, por ejemplo, que el infinito cerrado (contable o incontable) escoba no tiene la propiedad W. Hay un pregunta aquí que afirma que un ramillete infinito de círculos no es primero contable, lo que excluye el uso de este resultado.

Answer 1

Como no ha especificado la topología en $X$ la respuesta es no en general. Por ejemplo, $X$ podría ser la unión de los círculos $C_n$ en el plano euclidiano con centro en $(1/n,0)$ y el radio $1/n$ . Si topologizamos esto $X$ como un subespacio del plano, consiste en un único $0$ -célula $O$ (el origen) y un número infinito de bucles $C_n$ en $O$ . Pero no es un complejo CW; no tiene la topología débil. Por ejemplo, el conjunto formado por las mitades derechas cerradas de todos los $C_n$ (es decir, la parte de cada $C_n$ donde $x\geq 1/(2n)$ ) se reúne cada $C_n$ en un conjunto cerrado, pero su cierre contiene $O$ .