Explicar estas soluciones del número entero

Question

<span class="math-container">$a+b=u^2, a^2+b^2=v^4$</span>

He encontrado la solución: <span class="math-container">$a=4565486027761, \quad b=1061652293520, \quad u=2372159, \quad v=2165017$</span>.

Pero no conozco una manera más teórica para conseguirlos.

Answer 1

Por encima de ecuaciones simultáneas se muestra a continuación;

$a+b=u^2$, $a^2+b^2=v^4$

Creo que "OP" ha vuelto a descubrir soluciones numéricas de la ecuación de arriba primero dado por Fermat. La solución está dada en la página 621 en el libro de "L E Dickson", Vol. (2) "Historia de la teoría de los números".

Euler se llevó $a=(r^4-6r^2s^2+s^4)$, $b=(4r^3s-4rs^3)$ & $v=(r^2+s^2)$

Obtenemos:$u=(1/2)(115s^2-80rs+2r^2)$

Para $(r,s)=(1469,84)$ por encima de la solución numérica se obtiene

Answer 2

Respecto a la ecuación anterior se muestra a continuación:

$a+b=u^2$ y

$a^2+b^2=v^4$

La solución se muestra a continuación:

$(a,b,u,v)=[(120), (-119), (1), (13)]$

Hay otra solución que se dio en Seiji Tomita sitio y el enlace que se muestra a continuación.

        http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat

Y haga clic en computacional teoría de números y, a continuación, haga clic en el artículo # 146

La solución numérica se muestra a continuación:

$a=214038981475081188634947041892245670988588201$

$b=109945628264924023237017010068507003594693720$

$u= 17999572487701067948161$

$v=15512114571284835412957$

Answer 3

Una forma teórica para obtener esta solución es usando Pitágoras triples <span class="math-container">$(a,b,c)$</span> con los requisitos adicionales que <span class="math-container">$a+b$</span> es un cuadrado perfecto y <span class="math-container">$a^2+b^2$</span> es un cuarto poder; hay una fórmula para generar triples Pythagorean (primitivos). El triple de la solución anterior es <span class="math-container">$$ 4565486027761 ^ 2 +1061652293520 ^ 2 = 4687298610289 ^ 2 $</span>