Accidentalmente, me encontré con este viejo pregunta y el pensamiento para dar un ejemplo) cuya humilde!) la intención es permanentemente deconfuse cualquiera que conozca un poco de la licenciatura de matemáticas.
Considerar la teoría de grupos. En un típico curso introductorio, usted aprenderá los simples axiomas y de inmediato se encuentran frases como
$$\forall y \forall x \forall z( (xy=e) \wedge (zy=e ) \Rightarrow x=z);$$
o un poco más complicado, como la
$$(\forall x(x^2=e ))\Rightarrow (\forall x\forall y(xy=yx)).$$
Usted también aprenderá cómo sacar más fácilmente a partir de los axiomas de la teoría.
¿Qué piensas de la frase
$$S:\ \ \ \ \ \ \ \forall x \forall y( xy=yx)$$
?
Puede ser deducida a partir de los axiomas? Obviamente no, pero se requiere al menos un poco de seriedad a
demostrar que no se puede. Usted ve, podemos simplemente escribir una estructura como $S_3$ que satisface los axiomas de la teoría de grupo,
un modelo de teoría de grupos, y producir dos elementos para que la frase no es cierto. Obviamente no podíamos producir
un modelo de este tipo, si la frase era una consecuencia lógica de los axiomas.
¿Cómo, entonces, acerca de la $\neg S$? Puede ser deducida a partir de los axiomas? De nuevo, obviamente, no. Considerar los enteros $Z$.
Así vemos que el grupo de teoría es incompleta: Hemos escrito una frase $S$ tal manera que ninguno de $S$ ni $\neg S$ puede ser
deduce de los axiomas.
Pero aquí hay un punto importante: Si el contexto de la discusión fue el grupo $Z$, es la frase $S$ verdad? Sí, claro, y puedo probarlo. (Utilizando más de los axiomas de la teoría de grupo, por supuesto).
Para una teoría completa, cada cierto afirmación de $S$ (en el lenguaje de la teoría) sobre un determinado modelo de $G$ se puede deducir de los axiomas. Esto es debido a que $S$ o $\neg S$ puede deducir,
pero si $\neg S$ podría deducirse, entonces tendría que ser verdadera en cualquier modelo de la teoría, en particular, $G$. Por lo $S$ sería
falso en $G$. Pero $S$ es cierto. Por lo tanto, debe ser la que se pueden deducir. El resultado de todo esto es que cada vez que usted tiene una teoría (como la teoría del grupo) con un modelo que admite una verdadera pena que no puede ser deducido a partir de los axiomas, entonces la teoría es incompleta. El punto de aburrido con esta discusión
es para ilustrar que una teoría incompleta es una muy mundano objeto.
En caso de que esto sugiere (como debe ser) que una teoría completa, por otra parte, está obligado a ser muy exótico, puede ser que como esta
lista simple de un par de completar teorías.
Por ejemplo, la teoría de la algebraicamente cerrado campos de característica cero es completa. Esto implica, en particular,
una lógica de la encarnación de la "Lefschetz principio': Un campo de la teoría de la pena de verdad en $C $ es verdadera en todos los algebraicamente
campo cerrado de característica cero. De hecho, como se señaló anteriormente, una sentencia verdadera en cualquier modelo, ya que se puede deducir de los axiomas,
es cierto, como en cualquier otro modelo. He encontrado este hecho absolutamente alucinante cuando encontré por primera vez. Un buen ejercicio es ver por qué una frase como "todo elemento de a $\bar{Q}$ es algebraica' no causar un problema. (Usted necesita para obtener un poco más preciso para ello, en especial sobre el lenguaje de la teoría.)
No es una teoría completa de los números naturales, por el camino. Añadir a tus favoritos axiomas de
aritmética de todos los enunciados que son verdaderos en los números naturales. Esto es perfectamente respetable teoría completa, a veces conocido como la teoría de números naturales. Goedel del primer teorema de la incompletitud puede ser
interpretado como diciendo: esta teoría no admite un recursivamente enumerable conjunto de axiomas. (Que debe ser de al menos
intuitivamente plausible si se consideran difíciles problemas no resueltos, como, por ejemplo, Goldbach de la conjetura.)
Añadió:
En mi opinión, no es una buena idea para enfatizar la 'cadena formal de símbolos y reglas" punto de vista a la hora de explicar el teorema de la incompletitud. Es verdad que para probar el teorema, usted necesita para crear el fondo de los trámites. Pero la declaración en sí puede plausiblemente ser interpretado como algo diario razonamiento en matemáticas. Normalmente estamos interesados en algún tipo de estructura, un lugar específico como $Z/2$, un poco más general como de 2 grupos, o más general, pero como todos los grupos. La pregunta se refiere a que las propiedades (o axiomas satisfechos por la estructura, si se prefiere) que utilizamos para demostrar ciertas afirmaciones. La cotidianidad de esta pregunta fue la razón por traer la conmutatividad de la $Z$, lo que, sin duda, puedo demostrar en el curso normal de la discusión en la pizarra, pero cualquiera puede ver requiere más de la teoría de grupos.
Esta pregunta también surge con frecuencia como uno de gran interés para la práctica de los matemáticos. Un ejemplo avanzado que yo recuerde, en la parte superior de mi cabeza es 'Puede uno probar la Kodaira de fuga teorema usando sólo la geometría algebraica?,' que se ha resuelto primero por Faltings (aunque hay espacio para la interpretación de la frase "sólo la geometría algebraica').
En cierto sentido, la justificación para el formalismo abstracto que rodea el teorema de la incompletitud es también bastante commonsensical. Para probar que algo puede ser hecho, sólo tienes que hacer. Por ejemplo, creo que es incuestionable que la prueba de la Kodaira de fuga teorema por Deligne y Illusie utiliza sólo la geometría algebraica.' Y luego, están los famosos primaria pruebas del teorema de los números primos. Para probar que algo no puede hacerse, por otro lado, a menudo se requiere más cuidado fundaciones.
Añadido nuevo:
Después de algunas conversaciones, me decidí a poner en unas pocas palabras finales de aclaración. Espero que no me ligero que cualquier persona con un chiste sobre 'permanente deconfusion.' Yo no pretendo tener problemas serios de comprensión filosófica de las ramificaciones, por ejemplo. Sin embargo, he tratado de articular lo que a mí me parece sensato el punto de vista de la materia para la práctica de los matemáticos. A partir de una dada, usted puede hacer rápidamente hasta ejemplos que ilustran la (interesante) de la incompletitud de una gran mayoría de las teorías que suelen trabajar con, anillos, campos, espacios topológicos, etc. Después de ese proceso, y el pensamiento a través de los pocos implicaciones de integridad ya se ha mencionado, si a alguien se le ocurrió a usted y afirmó que la Aritmética de Peano fue completa, sospecho que sus ojos se salgan.
Alguien me dijo una vez que una buena forma de sonido sofisticado como un aficionado lógico es proclamar que el teorema de completitud* es mucho más importante que el teorema de la incompletitud. Eso es tal vez demasiado radical es una declaración, pero parece ser el uno que es útil para el habitual de las matemáticas. Para las personas interesadas en seguir esta línea de pensamiento, recomiendo la agradable conferencias dictadas por Angus Macintyre en el Arizona Escuela de Invierno en el 2003:
http://math.arizona.edu/~swc/aws/03/03Notes.html
Una observación intrigante hay a veces pienso acerca de cómo el número de la teoría de la terminación (reales y $p$-adics) se correlacionan de forma lógica completa de las teorías.
*El teorema de completitud esencialmente dice que una oración es una consecuencia lógica de los axiomas si y sólo si es verdadera en todos los modelos de los axiomas. La idea de la no-trivial dirección es mostrar cómo construir, dado que cualquier frase que no puede ser deducido, un modelo de los axiomas en los que es falso.
