Propiedad simple de funciones determinantes

Question

Bueno, así que estoy en un curso de álgebra lineal y vamos pesar de que la derivación de la función determinante de las matrices. Estoy luchando con algunas de las propiedades del determinante funciones, es decir, funciones que son n-lineal, alternando, y dar un 1 para la matriz de identidad. La pregunta que yo actualmente estoy atascado en es como sigue.

Deje $K$ ser un anillo conmutativo con identidad y $D$ una $n$-lineal de la función en $n\times n$ matrices de más de $K$. Mostrar que $D(B)=D(A)$si $B$ se obtiene a partir de a$A$ mediante la adición de un escalar múltiplo de una fila de $A$ a otro.

Lo que tengo hasta ahora es el siguiente.

Deje $A$ ser $n\times n$ matriz. Deje $A=(\alpha_1, \cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_j,\cdots, \alpha_n)$ donde $a_k$, $k=1,...,n$ denotar las filas de $A$. Deje $B=(\alpha_1,\cdots,a\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_n)$ para $a\in K$. Que se deje $B$ ser la matriz formada de $A$ donde la $i^{th}$ fila $A$ es reemplazado por $a$ veces $i^{th}$ de $A$ fila más el $j^{th}$ fila $A$. Entonces

$D(B)=D(\alpha_1,\cdots,a\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_n)=aD(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)+D(\alpha_1,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)\text{($n$-linearity) }=aD(A)+0=aD(A).$

Por lo tanto, $D(B)=aD(A)$

Yo soy claramente falta algo evidente, porque el $a$ no deberían de estar ahí, de acuerdo a la pregunta, pero para la vida de mí no puedo ver lo que está pasando. Estoy asumiendo que es algo obvio y fácil, pero se me ha pegado por demasiado tiempo. Gracias.

Answer 1

La prueba parece correcto para mí. Pero, usted debe definir $B$ como

$$B=(\alpha_1,\cdots,\alpha_i+a\cdot \alpha_j,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)$$

debido a $B$ es obtanined mediante la adición de $a$ los tiempos de la fila $j$ de $A$ de la fila $i$ de $A$. En este caso, usted recibirá $D(A)=D(B)$ desde:

$$D(B)=D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i+a\cdot \alpha_j,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n) =D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)+a\cdot D(\alpha_1,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)=D(B)+a\cdot 0=D(B).$$

Answer 2

Empezó hacia problemas cuando escribió a <span class="math-container">$$D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i, \cdots, \alpha_j,\cdots,\alpha_n)$$ (which calls out the <span class="math-container">$i $</span>th and <span class="math-container">$j$</span>th posiciones) como</span>

<span class="math-container">$$D(\alpha_1,\cdots,a\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_n)$$</span> which leaves it unclear as to which position the new expression sits in. You can't tell if it's supposed to represent <span class="math-container">$% $ $D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i, \cdots, a\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_n)$</span> o <span class="math-container">$$D(\alpha_1,\cdots,a\alpha_i+\alpha_j,\cdots,\alpha_j, \cdots, \alpha_n)$ $</span>

Respuesta de HectorBlandin hace explícita y así no dar lugar a la misma confusión.