Dejemos que $f(z) = \frac{1+e^z}{1-e^z} $ . Determinar la imagen de $f(A)$

Question

En todos los exámenes de análisis complejo redactados por mi profesor, una pregunta de esta naturaleza siempre aparece:

Dejemos que $$f(z)=\frac{1+e^z}{1-e^z}$$

y $A=\{z:\Re(z)<0, \ -\pi<\Im(z)<\pi\}.$ Determinar la imagen $f(A)$ . Sugerencia: utilice el hecho de que $f(z)=M(e^z)$ donde $M(z)=\frac{1+z}{1-z}.$

Me pregunto si alguien puede desglosar de alguna manera una solución para problemas como estos en pasos. Como, paso 1: comprobar esto, paso 2: calcular esto y así sucesivamente. Ya tengo las soluciones de los profesores pero son demasiado crípticas para mí. Necesito que este problema se simplifique de alguna manera para poder entender lo que hay que hacer.

Mi idea inicial es simplemente que tenemos un área $A$ que es un área rectangular infinita que está a la izquierda del semiplano complejo, pero limitada por $-\pi$ y $\pi$ en el eje imaginario. Así que si cada punto dentro de $A$ sufre la transformación $f(z),$ formarán una figura diferente, es decir, la imagen $f(A).$

Sin embargo, no entiendo cómo se supone que debo hacer la aritmética aquí y utilizar las transformadas de Möbius.

Cualquier ayuda es muy apreciada, pero por favor, no use matemáticas extravagantes que están fuera del alcance del análisis complejo.

Answer 1

En primer lugar, determine la imagen de $A$ en $z \mapsto e^z$ . Es bastante fácil ver que esto será el interior del disco unitario (menos la parte del eje real negativo dentro del disco unitario) escribiendo $e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy}$ . A continuación, utilice el hecho de que las transformaciones de Möbius mapean círculos y líneas a círculos y líneas en el límite de esta región.