Divisibilidad 1,2,3,4,5,6,7,8,9, y 10

Question

Probado: Parece que el número de diez dígitos termina con $240$ o $640$ o $840$ (no Es cierto, hay más maneras de que el número podría terminar)

$8325971640,$ $8365971240,$ $8317956240,$ $8291357640,$ $8325971640,$ $8235971640,$ $1357689240,$ $1283579640,$ $1783659240,$ $1563729840,$ $1763529840,$ $1653729840,$ $7165239840,$ $7195236840,$ $2165937840,$ $9283579640$

Answer 1

Supongamos que el número es de la forma $N=jihgfedcba$. Podemos escribir:

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+(10-1)b+(10^2-1)c+(10^3-1)d+(10^4-1)e+(10^5-1)f+(10^6-1)g+(10^7-1)h+(10^8-1)i+(10^9-1)j$

R: Cualquier número como formas siguientes son divisibles por 2, 4, 5 y 8:

$(2k)(40)$ como $240, 440, 640, 840 . . .$

$(2k+1)(20)$, como $120, 320, 520, 720, . . .$

B: Cualquiera que sea el valor de g es, el término $\frac{10^6-1}{9}$ es divisible por $77$.

C: De 7 tenemos en cuenta el resto de $10^n-1$ cuando se divide por 7:

$T=.....10, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, 10^6, 10^7, 10^8, 10^9$

$R_{10^n}=...3,..2,.. 6,.. 4,.. 5,... 1,.. 3,.. 2,.. 6$

$R_{10^n-1}=2,..1,..5,..3,...4,...0,...2,..1,..5$

Podemos hacer la siguiente relación de divisibilidad por 7:

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+(2)b+(1)c+(5)d+(3)e+(4)f+(0)g+(2)h+(1)i+(5)j≡ mod 7$

D: De 11 acabamos de considerar el resto de $10^n-1$ para impar n porque incluso para n,. $(10^n-1)$ es divisible por 11 :

$T= .......10,....10^3,...10^5,...10^7,..10^9$

$R_{10^n}=...-1,...-1,...-1,...-1,..-1$

$R_{10^n-1}=-2,...-2,...-2,...-2,..-2$

Así que podemos hacer la siguiente relación de divisibilidad por 11:

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+(-2)b+(-2)d+(-2)f+(-2)h+(-2)j≡ mod 11$

Así tenemos el siguiente sistema de Diophantine ecuaciones:

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+(-2)b+(-2)d+(-2)f+(-2)h+(-2)j≡ mod 11$

$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+(2)b+(1)c+(5)d+(3)e+(4)f+(0)g+(2)h+(1)i+(5)j≡ mod 7$

La suma de $a+b+c+. . .i+j= \frac{9(9+1)}{2}=45$ es divisible por 3 y 9. Este sistema de ecuaciones se indica que la pregunta puede tener múltiples soluciones, para encontrar uno tomar, por ejemplo, $cba=840$ que es divisible por 2, 3, 4, 5, 7 y 8, Que es asumimos $a=0$, $b=4$ e $c=8$ y buscar otros dígitos de la siguiente manera, tenemos:

$45+4\times2+8\times1+5d+3e+4f+2h+i+5j≡ mod 7$

O:

$61+5d+3e+4f+2h+i+5j≡ mod 7$

$45-2\times 4-2(d+f+h+j)=37-2(d+f+h+j)≡ mod 11$

Supongamos $37-2(d+f+h+j)=11$ ⇒$d+f+h+j=(37-11)/2=13$

Supongamos $d=1, . f=2,.h=3,. and,..j=7$ entonces tenemos:

$61+5+3e+8+6+i+35=115+3e+i≡ mod 7$

Deje $115+3e+i=21\times 7=$⇒ $3e+i=32$ ⇒ $e=9$ e $i=5$

El único número que sigue es el 6 de g, por lo que una solución puede ser:

$N=7536291840$

Answer 2

Si la representación dígitos de dicho número es $ \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 d_0 \rangle$, donde $$ \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 d_0 \rangle:=\Sigma_{i=0}^{9}10^id_i$$ entonces sabemos que $d_0=0$ porque $$10\mid \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 d_0 \rangle.$$

La suma $$d_9 +d_8+ d_7+ d_6+ d_5+ d_4+ d_3+ d_2+ d_1 +0$$ es $$0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,$$ así $$9 | \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 0\rangle.$$

Porque $$8\mid \langle a_2 a_10\rangle.$$ también sabemos que $$4\mid \langle a_2a_1\rangle \tag{2}$$

Así tenemos $$t\mid \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 0 \rangle, \; \forall t \in \{2,3,4,5,6,8, 9, 10\}$$ si $(2)$ sostiene.

Si $$11\mid \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 d_0 \rangle$$ a continuación, para la alternativa de suma sostiene
$$11 \mid d_9 +d_8- d_7+ d_6- d_5+ d_4- d_3+ d_2- d_1+0$$

La alternativa de la suma es entre $$-9-8-7-6-5+1+2+3+4=35$$ and $$9+8+7+6-1-2-3-4-5=30.$$ But we know that the alternate sum is divisible by $11$ and it is the sum of $5$ odd and $5$ even numbers, so it is odd. Therefore the alternate sum is in $ \{-33,-11,11\}.$

Cómo construir una solución?

1. Set $a_0=0$

2. Comience con un valor posible para $\langle a_2a_1\rangle$ tales que

   • $4\mid \langle a_2a_1\rangle$
   • $a_1 \ne a_2$
   • $a_1 \ne 0$
   • $a_2 \ne 0$

3. El resto de los dígitos $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\setminus\{d_1, d_2\}$ partición en dos conjuntos, el conjunto de $\cal{O}=\{d_3, d_5, d_7, d_9\}$ que contiene $4$ elementos en el extraño indexado posiciones y $\cal{E}\{d_4, d_6, d_0\}$ que contiene la $3$ elementos en el incluso indexado posiciones.

4. Si $$\Sigma_{d \in \cal{E}}-\Sigma_{d \in \cal{O}}+a_2-a_1 \in \{-33,-11,11\} \tag{1}$$ hemos terminado, de lo contrario seleccione un elemento $\cal{e} \in \cal{E}$ e $\cal{o} \in \cal{O}$, retire $\cal{e}$ de $ \cal{E}$ e $\cal{o}$ de $ \cal{O}$ y agregar $\cal{e}$ a $ \cal{O}$ e $\cal{o}$ a$ \cal{E}.$ El lado izquierdo de $(1)$ se incrementa por $2(\cal{o}-\cal{e}).$ Repita este paso hasta que $(1)$ está satisfecho o si usted está aburrido.
5. Si $(1)$ sostiene, a continuación, asignar los elementos de $ \cal{O}$ a $d_9, d_7, d_5, d_3$ en forma arbitraria y asignar los elementos de $ \cal{E}$ a $a_8, a_6, a_4$ también en forma arbitraria. Ahora $$t\mid \langle d_9 d_8 d_7 d_6 d_5 d_4 d_3 d_2 d_1 0 \rangle, \; \forall t \in \{2,3,4,5,6,8, 9, 10,11\}$$ sostiene.

Ejemplo:

El menor valor válido para $\langle a_2 a_1 \rangle$ es $12.$ Los valores de $00, 04, 08, 20$ no son válidos debido a que contienen $d_0.$ Los números de $44$ e $88$ no son válidos porque $d_2=d_1$, por lo que el número no puede ser una permutación.

Por lo $d_1=6$ e $d_2=1$, establecemos $ \cal{O}=\{2,3,4,5\}$ e $ \cal{E}=\{7,8,9\}$. El lado izquierdo de $(1)$ es $-14+24+1-6=-5.$ Ahora cambiamos $7$ a $\cal{O}$ e $4$ a $\cal{E}.$ Esto disminuye la LHS de $(1)$ por $6$ a $-11$ y hemos terminado. Así tenemos $$\cal{O}=\{2,3,5,7\}$$ $$\cal{E}=\{4,8,9\}$$ $$\langle d_2 d_1 d_0 \rangle =160 $$ y puede construir el número $$ 2435879160$$ $\square$

Podemos generar $4!\cdot 3!=144$ diferentes números de nuestros conjuntos de $\cal{O}$ e $\cal{E}.$ Hay una buena probabilidad de que alrededor de $\frac{1}{7}$ de estos 144 números son divisibles por $7$, se trata de $20$ números. Si no existe tal número que podemos construir otros números repitiendo los pasos 2 a 5.

Aquí el número de $ 2435879160$ ya es divisible por $7.$

Answer 3

Sólo necesitamos un número divisible por $5,7,8,9,11$ y todo lo demás es automático. Divisibilidad por $9$ no es una preocupación, como los dígitos que ya se suma a $45$ e $9\mid45$. El número debe terminar con $0$ ya que aún y divisible por $5$. Los tres últimos dígitos debe ser divisible por $8$, por lo que son algunos de los múltiples de $040$ (de curso $040$ no es realmente un candidato válido, ya que se repite $0$ dos veces). Divisibilidad por $11$ significa que la alternancia de suma de los dígitos debe ser un múltiplo de $11$. Divisibilidad por $7$ significa que el primer $9$ dígitos es un múltiplo de a$7$. Ahora, creo que el método más eficiente es escribir un programa teniendo en cuenta todos estos parámetros para encontrar una respuesta numérica.

Answer 4

COMENTARIO.- Es claro que el número requerido, $N$, debe ser un múltiplo de $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11=27720$ así que debemos tener $N=27720x$ donde $x$ es tal que $N$ tienen diez (distinta) dígitos. Se sigue después de un cálculo de$ $ que si no hay solución, a continuación, $x$ es un número entero tal que$$36076\le x\le360750$$ In other words, $x$ is a number belonging to a set of $324675$ enteros.

Answer 5

El número de los que son divisibles por $8$ es también divisible por $2$ e $4$.

El número de los que son divisibles por $9$ es también divisible por $3$.

El número de los cuales es divisible por $6$ es también divisible por $2$ e $3$.

El número de los que son divisibles por $10$ es también divisible por $2$ e $5$.

También el número que esperamos es divisible por $11$ e $7$.

Por lo que el número está en la forma $=P×2^{3i}×3^{2j}×5^k×7^m×11^n$, Donde $i$, $j$, $k$, $m$, & $n$ son positivas cualquier entero positivo y $P$ es cualquier entero positivo entero.El uso de esta condición en la que nos va a producir diez dígitos.